Упр.13 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: 13. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AB, пересекает сторону AC этого треугольника в точке A1, а сторону BC — в точке B1. Найдите длину отрезка A1B1, если:
Так как плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой $$AB$$, а точки $$A_1$$ и $$B_1$$ лежат соответственно на сторонах $$AC$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$, то прямая $$A_1B_1$$ является линией пересечения плоскости $$\alpha$$ с плоскостью $$ABC$$. Следовательно, $$A_1B_1 \parallel AB$$.
Тогда треугольники $$\triangle CA_1B_1$$ и $$\triangle CAB$$ подобны, и
$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{CA_1}{CA}=\frac{CB_1}{CB}.$$
Отсюда
$$A_1B_1=AB\cdot \frac{CA_1}{CA}.$$
Если $$AA_1:AC=2:3$$, то
$$CA_1=AC-AA_1=AC-\frac{2}{3}AC=\frac{1}{3}AC,$$
значит
$$A_1B_1=AB\cdot \frac{1}{3}=\frac{AB}{3}.$$
При $$AB=15\text{ см}$$ получаем
$$A_1B_1=\frac{15}{3}=5\text{ см}.$$
Если $$AA_1:A_1C=5:3$$, то
$$AC=AA_1+A_1C=5+3=8$$ частей,
поэтому
$$\frac{CA_1}{CA}=\frac{3}{8}.$$
Тогда при $$AB=8\text{ см}$$
$$A_1B_1=8\cdot \frac{3}{8}=3\text{ см}.$$
Если $$B_1C=10\text{ см}$$ и $$AB:BC=4:5$$, то из подобия
$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{CB_1}{CB}.$$
Так как $$CB_1=BC-B_1C$$, а по отношению $$AB:BC=4:5$$ имеем $$AB=\frac{4}{5}BC$$, то
$$A_1B_1=\frac{AB\cdot B_1C}{BC}=\frac{4}{5}\cdot 10=8\text{ см}.$$
Если $$AA_1=a$$, $$AB=b$$, $$A_1C=c$$, то
$$AC=a+c,$$
и потому
$$A_1B_1=AB\cdot \frac{A_1C}{AC}=b\cdot \frac{c}{a+c}=\frac{bc}{a+c}.$$
Ответ
а) $$5\text{ см}$$; б) $$3\text{ см}$$; в) $$8\text{ см}$$; г) $$\frac{bc}{a+c}$$.