Упр.13 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Дан треугольник $$ABC$$. Плоскость, параллельная прямой $$AB$$, пересекает сторону $$AC$$ этого треугольника в точке $$A_1$$, а сторону $$BC$$ — в точке $$B_1$$. Найдите длину отрезка $$A_1B_1$$, если:

Так как плоскость $$\alpha$$ параллельна прямой $$AB$$, то линия пересечения этой плоскости с плоскостью треугольника $$ABC$$, то есть отрезок $$A_1B_1$$, тоже параллельна $$AB$$.

Следовательно, треугольники $$\triangle CA_1B_1$$ и $$\triangle CAB$$ подобны, поэтому

$$\frac{A_1B_1}{AB}=\frac{CA_1}{CA}=\frac{CB_1}{CB}.$$

Отсюда

$$A_1B_1=AB\cdot \frac{CA_1}{CA}.$$

Если $$AA_1$$ и $$A_1C$$ известны, то $$CA=AA_1+A_1C$$, значит

$$A_1B_1=AB\cdot \frac{A_1C}{AA_1+A_1C}.$$

Если $$A_1C$$ выражается через отношение частей стороны $$AC$$, то подставляем это отношение в формулу выше и находим длину $$A_1B_1$$.

Ответ

$$A_1B_1=AB\cdot \frac{A_1C}{AA_1+A_1C}.$$