Упр.12 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В прямом параллелепипеде стороны основания $$2\sqrt{2}\ \text{см}$$ и $$5\ \text{см}$$ образуют угол $$45^\circ$$. Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7\ \text{см}$$. Найдите его объем.

Подробный ответ

Площадь основания прямого параллелепипеда равна площади параллелограмма со сторонами $$2\sqrt{2}$$ и $$5$$, образующими угол $$45^\circ$$:

$$S_{\text{осн}}=AB\cdot AD\cdot \sin 45^\circ=2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=10\ \text{см}^2.$$

Найдём диагональ основания $$BD$$ по теореме косинусов:

$$BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 45^\circ$$

$$BD^2=(2\sqrt{2})^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =8+25-20=13,$$

значит, $$BD=\sqrt{13}$$.

Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой $$7$$ и катетом $$BD=\sqrt{13}$$ находим высоту параллелепипеда:

$$h=\sqrt{7^2-BD^2}=\sqrt{49-13}=\sqrt{36}=6\ \text{см}.$$

Тогда объём равен

$$V=S_{\text{осн}}\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^3.$$

Ответ: $$60\ \text{см}^3$$.