Упр.12 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B прямом параллелепипеде стороны основания 2v2 см и 5 см образуют угол 45°. Меньшая диагональ параллелепипеда равна 7 см. Найдите его объем.

Подробный ответ

Площадь основания прямого параллелепипеда равна площади параллелограмма со сторонами $$AB=2\sqrt{2}$$ и $$AD=5$$, угол между ними $$45^\circ$$:

$$ S_{\text{осн}}=AB\cdot AD\cdot \sin 45^\circ =2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =10\ \text{см}^2. $$

Найдём диагональ основания $$BD$$ по теореме косинусов:

$$ BD^2=AB^2+AD^2-2\cdot AB\cdot AD\cdot \cos 45^\circ $$

$$ BD^2=(2\sqrt{2})^2+5^2-2\cdot 2\sqrt{2}\cdot 5\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} =8+25-20=13, $$

значит,

$$BD=\sqrt{13}\ \text{см}.$$

Меньшая диагональ параллелепипеда равна $$7$$ см, значит для прямоугольного треугольника с гипотенузой $$7$$ и катетом $$BD$$ высота параллелепипеда равна:

$$ h=\sqrt{7^2-BD^2}=\sqrt{49-13}=\sqrt{36}=6\ \text{см}. $$

Тогда объём параллелепипеда:

$$ V=S_{\text{осн}}\cdot h=10\cdot 6=60\ \text{см}^3. $$