Упр.12 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

В наклонной треугольной призме расстояния между боковыми рёбрами равны $$37\text{ см}$$, $$13\text{ см}$$ и $$40\text{ см}$$. Найдите расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Подробный ответ

Проведём через произвольную точку $$M$$ на ребре $$AA_1$$ прямые, перпендикулярные боковым рёбрам $$BB_1$$ и $$CC_1$$. Тогда получим отрезки

$$MN=13\text{ см},\quad NK=37\text{ см},\quad MK=40\text{ см}.$$

Из точки $$N$$ опустим перпендикуляр $$NH$$ на отрезок $$MK$$. Тогда $$NH$$ — искомое расстояние между большей боковой гранью и противолежащим боковым ребром.

Рассмотрим треугольник $$MNK$$. Его полупериметр равен

$$p=\frac{13+37+40}{2}=45.$$

По формуле Герона находим площадь:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{45(45-40)(45-37)(45-13)}$$

$$S=\sqrt{45\cdot 5\cdot 8\cdot 32}=\sqrt{57600}=240\text{ см}^2.$$

С другой стороны,

$$S=\frac{1}{2}\,MK\cdot NH.$$

Тогда

$$NH=\frac{2S}{MK}=\frac{2\cdot 240}{40}=12\text{ см}.$$

Ответ: $$12\text{ см}$$.