Упр.12 Раздел 3 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что через любую точку $$A$$ можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости $$\alpha$$.

Проведём в плоскости $$\alpha$$ две пересекающиеся прямые $$b$$ и $$c$$. Через точку их пересечения проведём плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ так, чтобы $$\beta \perp b$$ и $$\gamma \perp c$$.

Плоскости $$\beta$$ и $$\gamma$$ пересекаются по некоторой прямой $$a$$. Так как $$a$$ лежит в плоскости $$\beta$$, а $$\beta \perp b$$, то $$a \perp b$$. Аналогично, $$a \perp c$$. Следовательно, прямая $$a$$ перпендикулярна плоскости $$\alpha$$, поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Теперь через точку $$A$$ проведём прямую $$d$$, параллельную прямой $$a$$. По теореме о параллельных прямых, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая перпендикулярна этой плоскости. Значит, $$d \perp \alpha$$.

Итак, через любую точку $$A$$ можно провести прямую, перпендикулярную данной плоскости $$\alpha$$.