Упр.12 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Даны четыре точки $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$, $$AC$$ и $$BD$$, $$AD$$ и $$BC$$, пересекаются в одной точке.
Пусть $$E,\ F,\ K,\ M$$ — середины отрезков $$AB,\ BC,\ CD,\ DA$$ соответственно, а $$P$$ и $$Q$$ — середины отрезков $$BD$$ и $$AC$$.
Из результата задачи 2.11 следует, что четырёхугольник $$EMKF$$ — параллелограмм. Значит, его диагонали $$EK$$ и $$MF$$ пересекаются в точке $$O$$ и делятся ею пополам, то есть $$EO=OK$$ и $$FO=OM$$.
Аналогично, четырёхугольник $$EPKQ$$ также является параллелограммом, так как его вершины — середины сторон пространственного четырёхугольника $$ABDC$$. Следовательно, его диагонали $$EK$$ и $$PQ$$ пересекаются в точке $$O_1$$ и делятся ею пополам, то есть $$EO_1=O_1K$$ и $$PO_1=O_1Q$$.
Но через точки $$E$$ и $$K$$ проходит одна и та же прямая $$EK$$, а на ней существует единственная точка, делящая отрезок $$EK$$ пополам. Поэтому $$O=O_1$$.
Значит, прямые, соединяющие середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$, $$AC$$ и $$BD$$, $$AD$$ и $$BC$$, пересекаются в одной точке.
