Упр.12 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Даны четыре точки A, B, C, D, не лежащие в одной плоскости. Докажите, что прямые, соединяющие середины отрезков AB и CD, AC и BD, AD и BC, пересекаются в одной точке.

Подробный ответ

Пусть $$E, F, K, M$$ — середины отрезков $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно, а $$P$$ и $$Q$$ — середины отрезков $$BD$$ и $$AC$$.

Рассмотрим четырёхугольник $$EMKF$$. Его стороны попарно параллельны, так как $$EF$$ соединяет середины сторон $$ABC$$, а $$MK$$ — середины сторон $$ADC$$; аналогично $$EM \parallel FK$$. Значит, $$EMKF$$ — параллелограмм. Тогда его диагонали $$EK$$ и $$MF$$ пересекаются в точке $$O$$, причём

$$EO=OK,\qquad FO=OM.$$

Теперь рассмотрим четырёхугольник $$EPKQ$$. Так как точки $$E, P, K, Q$$ являются серединами сторон пространственного четырёхугольника $$ABDC$$, то $$EPKQ$$ — параллелограмм. Следовательно, его диагонали $$EK$$ и $$PQ$$ пересекаются в точке $$O_1$$, и

$$PO_1=O_1Q,\qquad EO_1=O_1K.$$

Но отрезок $$EK$$ один и тот же, а на нём точки $$O$$ и $$O_1$$ делят его пополам. Значит, $$O \equiv O_1$$. Следовательно, прямые, проходящие через середины отрезков $$AB$$ и $$CD$$, $$AC$$ и $$BD$$, $$AD$$ и $$BC$$, пересекаются в одной точке.