Упр.12 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Основания трапеции равны 19 см и 31 см, а диагонали 39 см и 41 см. Найдите высоту трапеции.
Через вершину $$C$$ трапеции проведём прямую $$CE$$, параллельную диагонали $$BD$$. Так как $$BC \parallel AE$$ (основания трапеции), то $$BCDE$$ — параллелограмм. Следовательно,
$$DE=BC=19\text{ см}, \qquad CE=BD=39\text{ см}.$$
Рассмотрим треугольник $$ACE$$. Проведём $$CH \perp AE$$. Тогда $$CH$$ — высота и треугольника $$ACE$$, и трапеции $$ABCD$$.
Найдём основание $$AE$$:
$$AE=AD+DE=31+19=50\text{ см}.$$
В треугольнике $$ACE$$ известны стороны:
$$AC=41\text{ см}, \quad CE=39\text{ см}, \quad AE=50\text{ см}.$$
Найдём его площадь по формуле Герона:
$$p=\frac{41+39+50}{2}=65\text{ см},$$
$$S=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)} =\sqrt{65\cdot 24\cdot 26\cdot 15} =780\text{ см}^2.$$
С другой стороны,
$$S=\frac{1}{2}\,AE\cdot CH.$$
Тогда
$$CH=\frac{2S}{AE}=\frac{2\cdot 780}{50}=31{,}2\text{ см}.$$
Ответ: $$31{,}2$$ см.
