Упр.12 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Основания трапеции равны 19 см и 31 см, а диагонали 39 см и 41 см. Найдите высоту трапеции.

Подробный ответ

Через вершину $C$ проведём прямую $CE$, параллельную диагонали $BD$. Так как $BC \parallel AE$ (основания трапеции), то четырёхугольник $BCDE$ — параллелограмм. Следовательно,

$$DE=BC=19\text{ см}, \qquad CE=BD=39\text{ см}.$$

Рассмотрим треугольник $ACE$. Проведём $CH \perp AE$. Тогда $CH$ — высота и треугольника $ACE$, и трапеции $ABCD$.

Имеем:

$$AC=41\text{ см}, \qquad CE=39\text{ см}, \qquad AE=AD+DE=31+19=50\text{ см}.$$

Найдём площадь треугольника $ACE$ по формуле Герона:

$$p=\frac{41+39+50}{2}=65\text{ см}.$$

Тогда

$$S=\sqrt{p(p-AC)(p-CE)(p-AE)}=\sqrt{65\cdot 24\cdot 26\cdot 15}=780\text{ см}^2.$$

С другой стороны,

$$S=\frac{1}{2}\,AE\cdot CH.$$

Отсюда

$$CH=\frac{2S}{AE}=\frac{2\cdot 780}{50}=31{,}2\text{ см}.$$