Упр.11 Раздел 6 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Радиус основания конуса $$R$$. Осевым сечением является прямоугольный треугольник. Найдите его площадь.

Пусть $$\triangle ABC$$ — осевое сечение конуса, где $$C$$ — вершина конуса. Тогда $$AC=CB$$ как образующие конуса, а значит, $$\triangle ABC$$ равнобедренный. По условию он прямоугольный, следовательно, прямой угол находится при вершине $$C$$.

Проведём $$CO\perp AB$$. Тогда $$O$$ — центр основания конуса, поэтому $$AO=OB=R$$, а значит, $$AB=2R$$.

В равнобедренном треугольнике высота $$CO$$ является также медианой и биссектрисой, поэтому $$\angle BOC=45^\circ$$. Треугольник $$BOC$$ прямоугольный и равнобедренный, следовательно, $$CO=OB=R$$.

Теперь найдём площадь осевого сечения:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CO$$
$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2R\cdot R=R^2$$

Ответ: $$R^2$$.