Упр.11 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом, если: 1) A (6; 7; 8), B (8; 2; 6), C (4; 3; 2), D (2; 8; 4);2) A (0; 2; 0), B (1; 0; 0), C (2; 0; 2), B (1; 2; 2).

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Если диагонали четырёхугольника пересекаются и делятся пополам, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

1) Для точек $$A(6;7;8),\ B(8;2;6),\ C(4;3;2),\ D(2;8;4)$$ найдём координаты середин диагоналей:

$$ O\left(\frac{6+4}{2};\frac{7+3}{2};\frac{8+2}{2}\right)=(5;5;5), $$
$$ O_1\left(\frac{8+2}{2};\frac{2+8}{2};\frac{6+4}{2}\right)=(5;5;5). $$

Следовательно, $$O=O_1$$, значит диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются и делятся пополам. Поэтому $$ABCD$$ — параллелограмм.

Найдём длины соседних сторон:

$$ AB^2=(8-6)^2+(2-7)^2+(6-8)^2=2^2+(-5)^2+(-2)^2=33, $$
$$ AD^2=(2-6)^2+(8-7)^2+(4-8)^2=(-4)^2+1^2+(-4)^2=33. $$

Значит, $$AB=AD$$. В параллелограмме равенство соседних сторон означает, что все его стороны равны, следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

2) Для точек $$A(0;2;0),\ B(1;0;0),\ C(2;0;2),\ D(1;2;2)$$ найдём середины диагоналей:

$$ O\left(\frac{0+2}{2};\frac{2+0}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(1;1;1), $$
$$ O_1\left(\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(1;1;1). $$

Итак, $$O=O_1$$, значит $$ABCD$$ — параллелограмм.

Теперь найдём длины сторон:

$$ AB^2=(1-0)^2+(0-2)^2+(0-0)^2=1^2+(-2)^2+0^2=5, $$
$$ AD^2=(1-0)^2+(2-2)^2+(2-0)^2=1^2+0^2+2^2=5. $$

Следовательно, $$AB=AD$$, а значит, в параллелограмме $$ABCD$$ все стороны равны. Поэтому $$ABCD$$ — ромб.

Ответ

В обоих случаях $$ABCD$$ является ромбом.