Упр.11 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что четырёхугольник $$ABCD$$ является ромбом, если:
1) $$A(6; 7; 8)$$, $$B(8; 2; 6)$$, $$C(4; 3; 2)$$, $$D(2; 8; 4)$$;
2) $$A(0; 2; 0)$$, $$B(1; 0; 0)$$, $$C(2; 0; 2)$$, $$B(1; 2; 2)$$.

Подробный ответ

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно.

Найдём координаты этих точек.

Для случая а):

$$O\left(\frac{6+4}{2};\frac{7+3}{2};\frac{8+2}{2}\right)=(5;5;5),$$
$$O_1\left(\frac{8+2}{2};\frac{2+8}{2};\frac{6+4}{2}\right)=(5;5;5).$$

Для случая б):

$$O\left(\frac{0+2}{2};\frac{2+0}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(1;1;1),$$
$$O_1\left(\frac{1+1}{2};\frac{0+2}{2};\frac{0+2}{2}\right)=(1;1;1).$$

Следовательно, в обоих случаях $$O=O_1$$, то есть диагонали четырёхугольника $$ABCD$$ пересекаются и делятся этой точкой пополам. Значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Теперь найдём длины соседних сторон $$AB$$ и $$AD$$.

а)

$$AB^2=(8-6)^2+(2-7)^2+(6-8)^2=2^2+(-5)^2+(-2)^2=33,$$
$$AD^2=(2-6)^2+(8-7)^2+(4-8)^2=(-4)^2+1^2+(-4)^2=33.$$

Значит, $$AB=AD$$.

б)

$$AB^2=(1-0)^2+(0-2)^2+(0-0)^2=1^2+(-2)^2+0^2=5,$$
$$AD^2=(1-0)^2+(2-2)^2+(2-0)^2=1^2+0^2+2^2=5.$$

Значит, $$AB=AD$$.

Итак, в каждом случае $$ABCD$$ — параллелограмм с равными соседними сторонами. Следовательно, $$ABCD$$ — ромб.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Общая оценка