Упр.11 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Докажите, что середины сторон пространственного четырехугольника являются вершинами параллелограмма (вершины пространственного четырехугольника не лежат в одной плоскости).

Подробный ответ

Пусть $$E, F, K, M$$ — середины отрезков $$AB, BC, CD, DA$$ соответственно.

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Точки $$E$$ и $$F$$ — середины его сторон $$AB$$ и $$BC$$, значит, $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Поэтому

$$EF \parallel AC \quad \text{и} \quad EF=\frac12 AC.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$ADC$$. Точки $$M$$ и $$K$$ — середины его сторон $$AD$$ и $$DC$$, значит, $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ADC$$. Следовательно,

$$MK \parallel AC \quad \text{и} \quad MK=\frac12 AC.$$

Отсюда получаем, что

$$EF \parallel MK \quad \text{и} \quad EF=MK.$$

Если в четырёхугольнике одна пара противоположных сторон равна и параллельна, то это параллелограмм. Значит, четырёхугольник $$EFKM$$ — параллелограмм.

Ответ: середины сторон пространственного четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.