Упр.11 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 10 класс, Просвещение: Докажите, что если прямые AB и CD не лежат в одной плоскости, то прямые AC и BD также не лежат в одной плоскости.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного.

Предположим, что прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$. Тогда точки $$A$$ и $$C$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, так как лежат на прямой $$AC$$. Аналогично точки $$B$$ и $$D$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, так как лежат на прямой $$BD$$.

Следовательно, прямые $$AB$$ и $$CD$$ имеют с плоскостью $$\alpha$$ по две общие точки: прямая $$AB$$ проходит через точки $$A$$ и $$B$$, а прямая $$CD$$ — через точки $$C$$ и $$D$$. Значит, обе эти прямые лежат в одной плоскости $$\alpha$$.

Но это противоречит условию: прямые $$AB$$ и $$CD$$ не лежат в одной плоскости.

Следовательно, наше предположение неверно, и прямые $$AC$$ и $$BD$$ не лежат в одной плоскости.