Упр.11 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами, равными $$17$$, $$65$$, $$80$$, и наибольшую высоту треугольника со сторонами, равными $$13$$, $$37\frac{12}{13}$$, $$47\frac{1}{13}$$.

Площадь треугольника найдём по формуле Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}, \qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

Также $$S=\frac12 ah,$$ значит $$h=\frac{2S}{a}.$$

1) Для треугольника со сторонами $$17,\ 65,\ 80$$ имеем:

$$p=\frac{17+65+80}{2}=81.$$

Тогда

$$S=\sqrt{81\cdot(81-17)\cdot(81-65)\cdot(81-80)}=\sqrt{81\cdot64\cdot16\cdot1}=288.$$

Наименьшая высота проведена к наибольшей стороне $$80$$:

$$h_{\min}=\frac{2S}{80}=\frac{2\cdot288}{80}=\frac{576}{80}=7{,}2.$$

2) Для треугольника со сторонами $$13,\ 37\frac{12}{13},\ 47\frac{1}{13}$$ имеем:

$$37\frac{12}{13}=\frac{493}{13}, \qquad 47\frac{1}{13}=\frac{612}{13}.$$

Тогда

$$p=\frac{13+37\frac{12}{13}+47\frac{1}{13}}{2}=49.$$

Следовательно,

$$S=\sqrt{49\left(49-13\right)\left(49-37\frac{12}{13}\right)\left(49-47\frac{1}{13}\right)}.$$

Вычислим разности:

$$49-13=36,\qquad 49-37\frac{12}{13}=11\frac{1}{13}=\frac{144}{13},\qquad 49-47\frac{1}{13}=1\frac{12}{13}=\frac{25}{13}.$$

Тогда

$$S=\sqrt{49\cdot36\cdot\frac{144}{13}\cdot\frac{25}{13}}=7\cdot6\cdot12\cdot5\cdot\frac{1}{13}=\frac{2520}{13}.$$

Наибольшая высота проведена к наименьшей стороне $$13$$:

$$h_{\max}=\frac{2S}{13}=\frac{2\cdot2520}{13\cdot13}=\frac{5040}{169}.$$

Ответ: $$7{,}2$$ и $$\frac{5040}{169}.$$