Упр.10 Раздел 8 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Образующая конуса $$l$$ составляет с плоскостью основания угол $$\alpha$$. Найдите объём конуса.

Проведём высоту конуса $$SO$$. Тогда треугольник $$ASO$$ прямоугольный, где $$AS=l$$, $$\angle SAO=\alpha$$.

Из прямоугольного треугольника получаем:

$$h=SO=AS\cdot \sin\alpha=l\sin\alpha,$$

$$R=AO=AS\cdot \cos\alpha=l\cos\alpha.$$

Найдём площадь основания конуса:

$$S=\pi R^2=\pi l^2\cos^2\alpha.$$

Теперь вычислим объём конуса:

$$V=\frac13 Sh=\frac13\cdot \pi l^2\cos^2\alpha \cdot l\sin\alpha =\frac13\pi l^3\sin\alpha\cos^2\alpha.$$

Ответ: $$\frac13\pi l^3\sin\alpha\cos^2\alpha.$$