Упр.10 Раздел 7 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Чему равен объём прямоугольного параллелепипеда, диагональ которого $$a$$ составляет с плоскостью основания угол $$a$$, а с боковой гранью угол $$B$$?

Обозначим рёбра прямоугольного параллелепипеда через $$AD$$, $$DC$$ и $$AA_1$$. Тогда диагональ $$AC_1$$ равна $$a$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACC_1$$. Так как диагональ $$AC_1$$ составляет с плоскостью основания угол $$\alpha$$, то

$$C_1C=AC_1\sin\alpha=a\sin\alpha,$$

$$AC=AC_1\cos\alpha=a\cos\alpha.$$

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $$C_1D_1A$$. Поскольку диагональ $$AC_1$$ составляет с боковой гранью угол $$\beta$$, получаем

$$D_1C_1=AC_1\sin\beta=a\sin\beta,$$

а значит,

$$DC=D_1C_1=a\sin\beta.$$

В прямоугольном треугольнике $$ADC$$ имеем

$$AD=\sqrt{AC^2-DC^2}=\sqrt{a^2\cos^2\alpha-a^2\sin^2\beta}=a\sqrt{\cos^2\alpha-\sin^2\beta}.$$

Тогда объём параллелепипеда равен

$$V=AD\cdot DC\cdot CC_1.$$

Подставим найденные значения:

$$V=a\sqrt{\cos^2\alpha-\sin^2\beta}\cdot a\sin\beta\cdot a\sin\alpha.$$

Следовательно,

Ответ: $$V=a^3\sin\alpha\sin\beta\sqrt{\cos^2\alpha-\sin^2\beta}.$$