Упр.10 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В прямой треугольной призме стороны основания равны $$10$$ см, $$17$$ см и $$21$$ см, а высота призмы $$18$$ см. Найдите площадь сечения, проведённого через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Пусть $$BH$$ — меньшая высота основания треугольника $$ABC$$, а $$B_1H_1$$ — соответствующая ей высота верхнего основания призмы. Так как призма прямая, то боковые рёбра перпендикулярны основанию, значит $$BB_1=18$$ см и $$BH \parallel B_1H_1$$. Следовательно, сечение $$BB_1H_1H$$ — прямоугольник.

Найдём высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. Его площадь по формуле Герона:

$$p=\frac{10+17+21}{2}=24$$

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-17)(p-21)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=84\text{ см}^2$$

С другой стороны,

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH$$

откуда

$$BH=\frac{2S_{ABC}}{AC}=\frac{2\cdot 84}{21}=8\text{ см}$$

Теперь найдём площадь сечения:

$$S_{BB_1H_1H}=BB_1\cdot BH=18\cdot 8=144\text{ см}^2$$

Ответ: $$144\text{ см}^2$$.