Упр.10 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: B прямой треугольной призме стороны основания равны 10 см, 17 см и 21 см, а высота призмы 18 см. Найдите площадь сечения, проведенного через боковое ребро и меньшую высоту основания.

Подробный ответ

Проведём в основании треугольника $$ABC$$ высоту $$BH$$ к стороне $$AC$$, а в верхнем основании — соответствующую высоту $$B_1H_1$$. Так как призма прямая, то боковые рёбра перпендикулярны основанию, значит четырёхугольник $$BB_1H_1H$$ — прямоугольник. Следовательно, искомое сечение есть прямоугольник $$BB_1H_1H$$.

Найдём сначала высоту $$BH$$ треугольника $$ABC$$. По формуле Герона:

$$ p=\frac{10+17+21}{2}=24 $$

$$ S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-10)(p-17)(p-21)}=\sqrt{24\cdot 14\cdot 7\cdot 3}=84 $$

С другой стороны, площадь треугольника $$ABC$$ можно выразить через основание $$AC$$ и высоту $$BH$$:

$$ S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH $$

Тогда

$$ BH=\frac{2S_{\triangle ABC}}{AC}=\frac{2\cdot 84}{21}=8\text{ см} $$

Так как основания призмы равны, то $$B_1H_1=BH=8\text{ см}$$, а высота призмы равна $$18\text{ см}$$, значит

$$ BB_1=HH_1=18\text{ см} $$

Площадь искомого сечения — площадь прямоугольника $$BB_1H_1H$$:

$$ S=BB_1\cdot BH=18\cdot 8=144\text{ см}^2 $$