Упр.10 Раздел 4 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Докажите, что четырехугольник $$ABCD$$ является параллелограммом, если:
   1) $$A(0; 2; -3),\ B(-1; 1; 1),\ C(2; -2; -1),\ D(3; -1; -5)$$;
   2) $$A(2; 1; 3),\ B(1; 0; 7),\ C(-2; 1; 5),\ D(-1; 2; 1)$$.

Пусть $$O$$ и $$O_1$$ — середины диагоналей $$AC$$ и $$BD$$ соответственно. Докажем, что эти середины совпадают.

1) Для точек $$A(0;2;-3),\ B(-1;1;1),\ C(2;-2;-1),\ D(3;-1;-5)$$

Координаты середины отрезка $$AC$$:

$$x_O=\frac{0+2}{2}=1,\qquad y_O=\frac{2+(-2)}{2}=0,\qquad z_O=\frac{-3+(-1)}{2}=-2.$$

Координаты середины отрезка $$BD$$:

$$x_{O_1}=\frac{-1+3}{2}=1,\qquad y_{O_1}=\frac{1+(-1)}{2}=0,\qquad z_{O_1}=\frac{1+(-5)}{2}=-2.$$

Следовательно, $$O=O_1.$$ Значит, диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются и делятся этой точкой пополам, а значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

2) Для точек $$A(2;1;3),\ B(1;0;7),\ C(-2;1;5),\ D(-1;2;1)$$

Координаты середины отрезка $$AC$$:

$$x_O=\frac{2+(-2)}{2}=0,\qquad y_O=\frac{1+1}{2}=1,\qquad z_O=\frac{3+5}{2}=4.$$

Координаты середины отрезка $$BD$$:

$$x_{O_1}=\frac{1+(-1)}{2}=0,\qquad y_{O_1}=\frac{0+2}{2}=1,\qquad z_{O_1}=\frac{7+1}{2}=4.$$

Итак, $$O=O_1.$$ Следовательно, диагонали четырехугольника $$ABCD$$ делятся точкой пересечения пополам, значит, $$ABCD$$ — параллелограмм.

Ответ: в обоих случаях $$ABCD$$ является параллелограммом.