Упр.10 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A, B, C, D$$ не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков $$AB$$ и $$BC$$, параллельна прямой, проходящей через середины отрезков $$AD$$ и $$CD$$.

Подробный ответ

Пусть $$E$$ и $$F$$ — середины отрезков $$AB$$ и $$BC$$, а $$M$$ и $$K$$ — середины отрезков $$AD$$ и $$CD$$ соответственно.

Точки $$A, B, C$$ лежат в одной плоскости, значит прямая $$EF$$ лежит в плоскости $$ABC$$. В треугольнике $$ABC$$ отрезок $$EF$$ соединяет середины двух сторон, поэтому $$EF$$ — средняя линия треугольника $$ABC$$. Следовательно,

$$EF \parallel AC.$$

Аналогично, точки $$A, C, D$$ лежат в одной плоскости, значит прямая $$MK$$ лежит в плоскости $$ACD$$. В треугольнике $$ACD$$ отрезок $$MK$$ соединяет середины двух сторон, значит $$MK$$ — средняя линия треугольника $$ACD$$. Тогда

$$MK \parallel AC.$$

Итак, прямые $$EF$$ и $$MK$$ параллельны одной и той же прямой $$AC$$, следовательно,

$$EF \parallel MK.$$

Ответ: прямая, проходящая через середины $$AB$$ и $$BC$$, параллельна прямой, проходящей через середины $$AD$$ и $$CD$$.