Упр.10 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите площадь треугольника с данными сторонами: 1) $$\frac{25}{6}, \frac{29}{6}, 6$$; 2) $$13, 37\frac{12}{13}, 47\frac{1}{13}$$; 3) $$2\frac{1}{12}, 3\frac{44}{75}, 1{,}83$$.

Для нахождения площади треугольника воспользуемся формулой Герона:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},\qquad p=\frac{a+b+c}{2}.$$

1. $$a=\frac{25}{6},\quad b=\frac{29}{6},\quad c=6.$$

   Тогда

   $$p=\frac{\frac{25}{6}+\frac{29}{6}+6}{2}=\frac{90}{6}\cdot\frac12=\frac{15}{2}.$$

   Следовательно,

   $$S=\sqrt{\frac{15}{2}\left(\frac{15}{2}-\frac{25}{6}\right)\left(\frac{15}{2}-\frac{29}{6}\right)\left(\frac{15}{2}-6\right)}$$
   $$=\sqrt{\frac{15}{2}\cdot\frac{10}{3}\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{3}{2}} =\sqrt{100}=10.$$

2. $$a=13,\quad b=37\frac{12}{13},\quad c=47\frac{1}{13}.$$

   Тогда

   $$p=\frac{13+37\frac{12}{13}+47\frac{1}{13}}{2}=49.$$

   Следовательно,

   $$S=\sqrt{49(49-13)\left(49-37\frac{12}{13}\right)\left(49-47\frac{1}{13}\right)}$$
   $$=\sqrt{49\cdot 36\cdot 11\frac{1}{13}\cdot 1\frac{12}{13}} =\sqrt{49\cdot 36\cdot \frac{144}{13}\cdot \frac{25}{13}} =\frac{2520}{13}.$$

3. $$a=2\frac{1}{12},\quad b=3\frac{44}{75},\quad c=1{,}83.$$

   Переведём в дроби:

   $$a=\frac{25}{12},\quad b=\frac{269}{75},\quad c=\frac{183}{100}.$$

   Тогда

   $$p=\frac{\frac{25}{12}+\frac{269}{75}+\frac{183}{100}}{2} =\frac{1125}{300}=\frac{15}{4}.$$

   Следовательно,

   $$S=\sqrt{\frac{15}{4}\left(\frac{15}{4}-\frac{25}{12}\right)\left(\frac{15}{4}-\frac{269}{75}\right)\left(\frac{15}{4}-\frac{183}{100}\right)}$$
   $$=\sqrt{\frac{15}{4}\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{49}{300}\cdot\frac{576}{300}} =\frac{7}{2}\cdot\frac{3}{100}=1{,}4.$$

Ответ: 1) $$10$$; 2) $$\frac{2520}{13}$$; 3) $$1{,}4$$.