Упр.1 Раздел 5 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Из точек A и B, лежащих в гранях двугранного угла, опущены перпендикуляры AA₁ и BB₁ на ребро угла. Найдите:

1. отрезок AB, если $$AA_1=a,\quad BB_1=b,\quad A_1B_1=c$$ и двугранный угол равен $$\alpha$$;
2. двугранный угол $$\alpha$$, если $$AA_1=3,\quad BB_1=4,\quad A_1B_1=6,\quad AB=7$$.

1) Проведём прямые $$A_1C \parallel BB_1$$ и $$BC \parallel A_1B_1$$. Тогда $$A_1B_1BC$$ — параллелограмм, значит $$A_1C=BB_1=b$$ и $$BC=A_1B_1=c$$.

Прямая $$A_1B_1$$ перпендикулярна плоскости $$AA_1C$$, так как она перпендикулярна пересекающимся прямым $$AA_1$$ и $$A_1C$$, лежащим в этой плоскости. Следовательно, $$BC \perp AA_1C$$, и треугольник $$ABC$$ прямоугольный.

По теореме косинусов для треугольника $$AA_1C$$:

$$AC^2=AA_1^2+A_1C^2-2\cdot AA_1\cdot A_1C\cos\alpha =a^2+b^2-2ab\cos\alpha.$$

Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AB=\sqrt{AC^2+BC^2} =\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}.$$

2) Здесь $$A_1C=BB_1=4$$, $$BC=A_1B_1=6$$. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$:

$$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{49-36}=\sqrt{13}.$$

По теореме косинусов для треугольника $$AA_1C$$:

$$\cos\alpha=\frac{AA_1^2+A_1C^2-AC^2}{2\cdot AA_1\cdot A_1C} =\frac{9+16-13}{2\cdot 3\cdot 4} =\frac{12}{24}=\frac12.$$

Следовательно, $$\alpha=60^\circ$$.

Ответ: 1) $$AB=\sqrt{a^2+b^2+c^2-2ab\cos\alpha}$$; 2) $$60^\circ$$.