Упр.1 Раздел 2 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Прямые AB и CD-скрещивающиеся;
Доказать: Прямые AC и BD-также являются скрещивающимися;
Доказательство:
1) Воспользуемся доказательством от противного:
Пусть прямые AC и BD не являются скрещивающимися, тогда они
лежат в одной плоскости и либо пересекаются, либо параллельны;
2) Значит точки A, B, C и D также принадлежат одной плоскости,
следовательно прямые AB и CD лежат в одной плоскости, что
противоречит условию задачи;
3) Таким образом, прямые AC и BD не лежат в одной плоскости, значит
они являются скрещивающимися, что и требовалось доказать.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного.

Пусть прямые $$AC$$ и $$BD$$ не являются скрещивающимися. Тогда они лежат в одной плоскости и либо пересекаются, либо параллельны.

Но тогда точки $$A, B, C, D$$ принадлежат одной плоскости. Следовательно, прямые $$AB$$ и $$CD$$ тоже лежат в одной плоскости, что противоречит условию: $$AB$$ и $$CD$$ — скрещивающиеся.

Противоречие показывает, что предположение неверно. Значит, прямые $$AC$$ и $$BD$$ не лежат в одной плоскости, то есть являются скрещивающимися.