Упр.1 Раздел 1 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Дано: Точки A, B, C и D не лежат в одной плоскости;
Доказать: Прямые AB и CD не пересекаются;
Доказательство:
1) Докажем от обратного, пусть прямые AB и CD пересекаются в
некоторой точке, тогда по аксиоме C_3 через эти две прямые можно
провести плоскость, и притом только одну;
2) Отсюда следует, что все точки, лежащие на прямых AB и CD-
принадлежат одной плоскости, значит точки A, B, C и D также
принадлежат одной плоскости, что противоречит условию задачи,
следовательно прямые AB и CD не пересекаются, что и требовалось
доказать.

Подробный ответ

Докажем утверждение от противного. Предположим, что прямые $$AB$$ и $$CD$$ пересекаются в некоторой точке.

Тогда по аксиоме стереометрии через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость. Значит, прямые $$AB$$ и $$CD$$ лежат в одной плоскости.

Но тогда в этой же плоскости лежат точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$, что противоречит условию: точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ не лежат в одной плоскости.

Следовательно, предположение неверно, и прямые $$AB$$ и $$CD$$ не пересекаются.