Упр.1 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Погорелов 11 класс, Просвещение: Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если: 1) b = 12, а = 36°, p = 25°; 2) с = 14, а = 64°, p = 48°.

Третий угол треугольника находим по формуле суммы углов треугольника:

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta.$$

1) $$b=12,\ \alpha=36^\circ,\ \beta=25^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-36^\circ-25^\circ=119^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},$$

откуда

$$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=b\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}.$$

Подставим значения:

$$a=12\cdot\frac{\sin36^\circ}{\sin25^\circ}\approx 12\cdot\frac{0{,}587}{0{,}422}\approx 16{,}7,$$

$$c=12\cdot\frac{\sin119^\circ}{\sin25^\circ}\approx 12\cdot\frac{0{,}874}{0{,}422}\approx 24{,}8.$$

2) $$c=14,\ \alpha=64^\circ,\ \beta=48^\circ.$$

Тогда

$$\gamma=180^\circ-64^\circ-48^\circ=68^\circ.$$

По теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma},$$

откуда

$$a=c\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma},\qquad b=c\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.$$

Подставим значения:

$$a=14\cdot\frac{\sin64^\circ}{\sin68^\circ}\approx 14\cdot\frac{0{,}898}{0{,}927}\approx 13{,}6,$$

$$b=14\cdot\frac{\sin48^\circ}{\sin68^\circ}\approx 14\cdot\frac{0{,}743}{0{,}927}\approx 11{,}2.$$

Ответ

1) $$\gamma=119^\circ,\ a\approx 16{,}7,\ c\approx 24{,}8.$$

2) $$\gamma=68^\circ,\ a\approx 13{,}6,\ b\approx 11{,}2.$$