Упр.1 Раздел 9 ГДЗ Погорелов 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Даны сторона и два угла треугольника. Найдите третий угол и остальные две стороны, если:
   1) $$b = 12$$, $$a = 36^\circ$$, $$p = 25^\circ$$;
   2) $$c = 14$$, $$a = 64^\circ$$, $$p = 48^\circ$$.

Третий угол треугольника находим по формуле суммы углов треугольника:

$$\gamma=180^\circ-\alpha-\beta.$$

Далее используем теорему синусов:

$$\frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}.$$

1. $$b=12,\ \alpha=36^\circ,\ \beta=25^\circ.$$

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-36^\circ-25^\circ=119^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$a=b\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=b\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\beta}.$$

   $$a=12\cdot\frac{\sin36^\circ}{\sin25^\circ}\approx 12\cdot\frac{0{,}587}{0{,}422}\approx 16{,}7,$$

   $$c=12\cdot\frac{\sin119^\circ}{\sin25^\circ}\approx 12\cdot\frac{0{,}874}{0{,}422}\approx 24{,}8.$$

2. $$c=14,\ \alpha=64^\circ,\ \beta=48^\circ.$$

   Тогда

   $$\gamma=180^\circ-64^\circ-48^\circ=68^\circ.$$

   По теореме синусов:

   $$a=c\cdot\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma},\qquad b=c\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\gamma}.$$

   $$a=14\cdot\frac{\sin64^\circ}{\sin68^\circ}\approx 14\cdot\frac{0{,}898}{0{,}927}\approx 13{,}6,$$

   $$b=14\cdot\frac{\sin48^\circ}{\sin68^\circ}\approx 14\cdot\frac{0{,}743}{0{,}927}\approx 11{,}2.$$

Ответ: 1) $$\gamma=119^\circ,\ a\approx 16{,}7,\ c\approx 24{,}8.$$ 2) $$\gamma=68^\circ,\ a\approx 13{,}6,\ b\approx 11{,}2.$$