Ответы на вопросы Глава 7 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
1) Пусть $$V_1$$ и $$V_2$$ — объёмы двух подобных тел, а $$k$$ — коэффициент подобия. Тогда линейные размеры относятся как $$k$$, площади — как $$k^2$$, объёмы — как $$k^3$$. Поэтому
$$\frac{V_1}{V_2}=k^3.$$
2) Если два тела равновелики, то их объёмы равны:
$$V_1=V_2.$$
3) Если два тела имеют равные площади поверхности, то
$$S_1=S_2.$$
4) Для цилиндра, конуса и шара объёмы выражаются формулами:
$$V_{\text{цил}}=\pi r^2h,$$
$$V_{\text{кон}}=\frac13\pi r^2h,$$
$$V_{\text{ш}}=\frac43\pi R^3.$$
5) Если шар вписан в цилиндр, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра равна диаметру шара:
$$r=R,\qquad h=2R.$$
Тогда
$$V_{\text{цил}}=\pi R^2\cdot 2R=2\pi R^3,$$
$$V_{\text{ш}}=\frac43\pi R^3,$$
и
$$\frac{V_{\text{ш}}}{V_{\text{цил}}}=\frac{\frac43\pi R^3}{2\pi R^3}=\frac23.$$
6) Если шар описан около цилиндра, то радиус цилиндра равен радиусу шара, а высота цилиндра равна диаметру шара. Аналогично можно сравнивать объёмы и площади по формулам подобия и по стандартным формулам тел вращения.
7) Для пирамиды и конуса объём равен одной трети произведения площади основания на высоту:
$$V=\frac13Sh.$$
8) Для усечённого конуса, если радиусы оснований равны $$R$$ и $$r$$, а высота равна $$h$$, то
$$V=\frac13\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right).$$
9) Если шар касается всех граней куба, то ребро куба равно диаметру шара:
$$a=2R.$$
Тогда
$$V_{\text{куба}}=a^3=(2R)^3=8R^3,$$
$$V_{\text{шара}}=\frac43\pi R^3,$$
и
$$\frac{V_{\text{шара}}}{V_{\text{куба}}}=\frac{\frac43\pi R^3}{8R^3}=\frac{\pi}{6}.$$
10) Если шар вписан в куб, то
$$a=2R,$$
а если шар описан около куба, то диагональ куба равна диаметру шара:
$$a\sqrt3=2R.$$
11) Для цилиндра, вписанного в шар радиуса $$R$$, при высоте $$h$$ и радиусе основания $$r$$ выполняется
$$r^2+\left(\frac h2\right)^2=R^2.$$
Отсюда можно находить объём цилиндра:
$$V=\pi r^2h=\pi h\left(R^2-\frac{h^2}{4}\right).$$
12) Для сравнения площадей и объёмов подобных тел используется отношение коэффициента подобия:
$$\frac{S_1}{S_2}=k^2,\qquad \frac{V_1}{V_2}=k^3.$$
Эти соотношения и формулы используются при решении задач главы о методе координат в пространстве и движениях.
