Ответы на вопросы Глава 3 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- Какое наименьшее число ребер может иметь многогранник?
- Призма имеет $$n$$ граней. Какой многоугольник лежит в ее основании?
- Является ли призма прямой, если две ее смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания?
- В какой призме боковые ребра параллельны ее высоте?
- Является ли призма правильной, если все ее ребра равны друг другу?
- Может ли высота одной из боковых граней наклонной призмы являться и высотой призмы?
- Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпендикулярно только одному ребру основания; б) только одна боковая грань перпендикулярна к основанию?
- Правильная треугольная призма разбивается плоскостью, проходящей через средние линии оснований, на две призмы. Как относятся площади боковых поверхностей этих призм?
- Будет ли пирамида правильной, если ее боковыми гранями являются правильные треугольники?
- Сколько граней, перпендикулярных к плоскости основания, может иметь пирамида?
- Существует ли четырехугольная пирамида, у которой противоположные боковые грани перпендикулярны к основанию?
- Могут ли все грани треугольной пирамиды быть прямоугольными треугольниками?
- Можно ли из куска проволоки длиной $$66\ \text{см}$$ изготовить каркасную модель правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания, равной $$10\ \text{см}$$?
- На какие многогранники рассекается треугольная призма плоскостью, проходящей через вершину верхнего основания и противолежащую ей сторону нижнего основания?
1) Наименьшее число рёбер у многогранника — $$6$$. Это тетраэдр.
2) Если призма имеет $$n$$ граней, то её основания — два многоугольника, а боковых граней $$n-2$$. Значит, основание — $$\left(n-2\right)$$-угольник.
3) Да, если две смежные боковые грани перпендикулярны к плоскости основания, то боковое ребро перпендикулярно основанию призмы, следовательно, призма прямая.
4) Боковые рёбра параллельны высоте в прямой призме.
5) Нет. Равенство всех рёбер — необходимое, но не достаточное условие правильной призмы. Например, возможен ромбический параллелепипед.
6) Только в том случае, если эта боковая грань перпендикулярна основаниям.
7)
- Да, может существовать наклонная призма, у которой боковое ребро не перпендикулярно плоскости основания, но перпендикулярно одному из рёбер основания.
- Нет. Если одна боковая грань перпендикулярна основанию, то боковое ребро перпендикулярно основанию, а значит, и соседняя грань тоже перпендикулярна основанию.
8) Пусть сторона основания равностороннего треугольника равна $$a$$. Тогда периметр меньшей призмы равен $$\frac{3a}{2}$$, а большей — $$\frac{5a}{2}$$. Следовательно, площади боковых поверхностей относятся как $$3:5$$.
9) Да. Если боковые грани — правильные треугольники, то боковые рёбра равны, а рёбра основания равны сторонам этих равносторонних треугольников. Значит, все рёбра пирамиды равны, и пирамида правильная.
10) Не более двух. Если две грани перпендикулярны основанию, то они должны содержать одно и то же перпендикулярное основанию ребро, проходящее через вершину пирамиды. Больше таких граней быть не может.
11) Нет. Невозможно провести через вершину пирамиды два различных перпендикуляра к одной и той же плоскости основания.
12) Да. Например, можно взять четыре прямоугольных треугольника со сторонами $$\left(3,4,5\right)$$, $$\left(3,4,5\right)$$, $$\left(4,5,\sqrt{41}\right)$$ и $$\left(4,5,\sqrt{41}\right)$$.
13) Нет. На рёбра каркаса останется $$66-40=26$$ см проволоки, то есть по $$6{,}5$$ см на каждое боковое ребро. Но боковое ребро должно быть больше своей проекции, а значит, больше суммы диагоналей квадрата, каждая из которых больше $$14$$ см. Это невозможно.
14) Плоскость делит треугольную призму на две пирамиды: одну треугольную и одну четырёхугольную. У первой основание — основание призмы, у второй основание — боковая грань призмы, содержащая сторону, по которой проведено сечение.
