Ответы на вопросы Глава 2 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Верно ли утверждение: если две прямые в пространстве перпендикулярны к третьей прямой, то эти прямые параллельны? Верно ли это утверждение при условии, что все три прямые лежат в одной плоскости?
Параллельные прямые $$b$$ и $$c$$ лежат в плоскости $$\alpha$$, а прямая $$a$$ перпендикулярна к прямой $$b$$. Верно ли утверждение: а) прямая $$a$$ перпендикулярна к прямой $$c$$; б) прямая $$a$$ пересекает плоскость $$\alpha$$?
Прямая $$a$$ перпендикулярна к плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ не перпендикулярна к этой плоскости. Могут ли прямые $$a$$ и $$b$$ быть параллельными?
Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ перпендикулярна к этой плоскости. Верно ли утверждение, что прямые $$a$$ и $$b$$ взаимно перпендикулярны?
Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$, а прямая $$b$$ перпендикулярна к этой плоскости. Существует ли прямая, перпендикулярная к прямым $$a$$ и $$b$$?
Верно ли утверждение, что все прямые, перпендикулярные к данной плоскости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости?
Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна к третьей плоскости, быть: а) параллельными плоскостями; б) перпендикулярными плоскостями?
Можно ли через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны?
Диагональ квадрата перпендикулярна к некоторой плоскости. Как расположена другая диагональ квадрата по отношению к этой плоскости?
Сколько двугранных углов имеет: а) тетраэдр; б) параллелепипед?

Подробный ответ

1) Утверждение неверно. Например, рёбра куба, перпендикулярные к одному и тому же ребру, не обязаны быть параллельны. Если же все три прямые лежат в одной плоскости, то утверждение верно: две прямые, перпендикулярные к одной и той же прямой в плоскости, параллельны.

2) Пусть $$b \parallel c$$ и $$a \perp b$$, причём $$b$$ и $$c$$ лежат в плоскости $$\alpha$$.

а) Верно. Так как $$b \parallel c$$, а $$a \perp b$$, то прямая $$a$$ перпендикулярна и прямой $$c$$.

б) Неверно. Например, если $$a \subset \alpha$$, то прямая $$a$$ не пересекает плоскость $$\alpha$$.

3) Нет. Если бы $$a \parallel b$$, то из $$a \perp \alpha$$ следовало бы, что $$b \perp \alpha$$, что противоречит условию.

4) Верно. Если $$a \parallel \alpha$$, то существует плоскость $$\beta$$, содержащая $$a$$ и параллельная $$\alpha$$. Так как $$b \perp \alpha$$, то $$b \perp \beta$$, а значит, $$b \perp a$$.

5) Да, существует. Например, можно взять три прямые, содержащие рёбра куба: две из них будут параллельны одной грани, а третья — перпендикулярна этой грани; тогда найдётся прямая, перпендикулярная обеим данным прямым.

6) Верно. Все прямые, перпендикулярные к данной плоскости, параллельны между собой. Через две параллельные прямые всегда проходит плоскость, значит, все такие прямые, пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.

7) Да, могут.

а) Например, две основания куба и одна его боковая грань: каждая из этих плоскостей перпендикулярна к одной и той же плоскости, а две из них могут быть параллельны.
б) Да, например, три плоскости, содержащие попарно перпендикулярные рёбра куба, выходящие из одной вершины.

8) Да, можно. Это следует из ответа к вопросу 7: через одну точку можно провести три взаимно перпендикулярные плоскости.

9) Если одна диагональ квадрата перпендикулярна плоскости, то вторая диагональ либо параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.

10) а) Тетраэдр имеет $$6$$ двугранных углов.

б) Параллелепипед имеет $$12$$ двугранных углов.