Упр.99 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Рассмотрим три возможных расположения прямых $$a$$ и $$b$$ относительно параллельных плоскостей $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$.

1. $$a \parallel b$$. Тогда отрезки, заключённые между параллельными плоскостями на этих прямых, равны. Следовательно,

   $$A_1A_2=A_2A,\qquad B_1B_2=B_2B,$$

   и потому

   $$A_1A_2:A_2A=B_1B_2:B_2B.$$

2. $$a \cap b = O$$. Пусть $$\alpha \cap a=A_1,\ \beta \cap a=A_2,\ \gamma \cap a=A,$$ а также $$\alpha \cap b=B_1,\ \beta \cap b=B_2,\ \gamma \cap b=B.$$

   Тогда в плоскости угла $$AOB$$ отрезки $$A_1B_1,\ A_2B_2,\ AB$$ параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях. По теореме Фалеса для треугольника $$OAB$$ получаем

   $$A_1A_2:A_2A=B_1B_2:B_2B.$$

3. $$a$$ и $$b$$ скрещиваются. Проведём через точку $$O \in b$$ прямую $$c \parallel a$$. Пусть $$c \cap \alpha=C_1,\ c \cap \beta=C_2,\ c \cap \gamma=C.$$

   Так как $$c \parallel a$$, то по первому случаю

   $$A_1A_2:A_2A=C_1C_2:C_2C.$$

   Кроме того, поскольку $$b$$ и $$c$$ пересекаются в точке $$O$$, а отрезки $$B_1C_1,\ B_2C_2,\ BC$$ лежат в параллельных плоскостях, то по второму случаю

   $$B_1B_2:B_2B=C_1C_2:C_2C.$$

   Следовательно,

   $$A_1A_2:A_2A=B_1B_2:B_2B.$$

Итак, три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.