Упр.99 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих эти плоскости прямых пропорциональные отрезки.

Пусть три параллельные плоскости $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$ пересекают две прямые $$a$$ и $$b$$ в точках $$A_1,\ A_2,\ A_3$$ и $$B_1,\ B_2,\ B_3$$ соответственно, где точки расположены в одном порядке на каждой прямой.

Проведём через прямую $$a$$ плоскость $$\pi$$, параллельную прямой $$b$$. Тогда плоскости $$\pi,\ \alpha,\ \beta,\ \gamma$$ попарно параллельны.

Плоскость $$\pi$$ пересекает плоскости $$\alpha,\ \beta,\ \gamma$$ по параллельным прямым, а плоскость, содержащая прямую $$b$$, пересекает эти же плоскости по прямым $$B_1B_2,\ B_2B_3$$. По свойству отрезков, заключённых между параллельными плоскостями, получаем:

$$A_1A_2 = B_1B_2,\qquad A_2A_3 = B_2B_3.$$

Следовательно, соответствующие отрезки на прямых $$a$$ и $$b$$ пропорциональны:

$$\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{B_1B_2}{B_2B_3}.$$

Если обозначить точки пересечения в общем виде как $$A,\ B,\ C$$ на одной прямой и $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ на другой, то аналогично получаем

$$\frac{AB}{BC}=\frac{A_1B_1}{B_1C_1}.$$

Значит, три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.

Ответ

Три параллельные плоскости отсекают на любых двух пересекающих их прямых пропорциональные отрезки.