Упр.98 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\alpha$$. Существует ли плоскость, проходящая через прямую $$a$$ и параллельная плоскости $$\alpha$$? Если существует, то сколько таких плоскостей? Ответ обоснуйте.

Да, такая плоскость существует, и притом только одна.

Возьмём любую точку $$A$$ прямой $$a$$. Через точку $$A$$ можно провести единственную плоскость $$\beta$$, параллельную плоскости $$\alpha$$.

Докажем, что прямая $$a$$ целиком лежит в плоскости $$\beta$$. Если бы прямая $$a$$ не лежала в $$\beta$$, то она пересекала бы эту плоскость в точке $$A$$. Но тогда прямая $$a$$ пересекала бы и плоскость $$\alpha$$, так как $$\beta \parallel \alpha$$, что противоречит условию $$a \parallel \alpha$$.

Следовательно, $$a \subset \beta$$, то есть через прямую $$a$$ проходит плоскость, параллельная плоскости $$\alpha$$.

Единственность следует из того, что через точку $$A$$ существует только одна плоскость, параллельная $$\alpha$$. Значит, через прямую $$a$$ можно провести только одну такую плоскость.

Ответ

Да, существует; такая плоскость единственная.