Упр.91 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Через каждую из двух параллельных прямых $$a$$ и $$b$$ и точку $$M$$, не лежащую в плоскости этих прямых, проведена плоскость. Докажите, что эти плоскости пересекаются по прямой, параллельной прямым $$a$$ и $$b$$.

Так как $$a \parallel b,$$ то прямая $$a$$ параллельна плоскости $$\beta,$$ а прямая $$b$$ параллельна плоскости $$\alpha.$$

Пусть плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$m,$$ то есть $$\alpha \cap \beta = m.$$ Поскольку точка $$M$$ принадлежит обеим плоскостям, имеем $$M \in \alpha$$ и $$M \in \beta,$$ значит, прямая $$m$$ проходит через точку $$M.$$

Если прямая лежит в одной плоскости и параллельна другой плоскости, то линия пересечения этих плоскостей параллельна данной прямой. Поэтому из $$a \subset \alpha$$ и $$a \parallel \beta$$ следует, что $$m \parallel a.$$ Аналогично из $$b \subset \beta$$ и $$b \parallel \alpha$$ получаем $$m \parallel b.$$

Следовательно, плоскости $$\alpha$$ и $$\beta$$ пересекаются по прямой $$m,$$ параллельной прямым $$a$$ и $$b.$$

Ответ: линия пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$\beta$$ параллельна прямым $$a$$ и $$b.$$