Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$BM$$. Известно, что $$\frac{\sin\angle ABM}{\sin\angle CBM}=\frac{1}{2}$$. Найдите отношение $$\frac{BC}{AB}$$.

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. По теореме синусов имеем

$$\frac{AB}{\sin \angle BMA}=\frac{AM}{\sin \angle ABM}.$$

Так как $$M$$ — середина $$AC$$, то $$AM=CM$$. Кроме того, углы $$\angle AMB$$ и $$\angle CMB$$ смежные, значит

$$\angle AMB=180^\circ-\angle CMB,$$

откуда

$$\sin \angle AMB=\sin \angle CMB.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CBM$$. По теореме синусов

$$\frac{BC}{\sin \angle BMC}=\frac{MC}{\sin \angle CBM}.$$

Так как $$\sin \angle BMC=\sin \angle AMB$$ и $$MC=AM$$, получаем

$$BC\sin \angle CBM=MC\sin \angle BMC=AM\sin \angle AMB.$$

С другой стороны, из первого равенства

$$AB\sin \angle ABM=AM\sin \angle AMB.$$

Следовательно,

$$AB\sin \angle ABM=BC\sin \angle CBM,$$

то есть

$$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}.$$

По условию

$$\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}=\frac{1}{2},$$

значит

$$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Ответ: $$\frac{1}{2}$$.