Подготовка к ЕГЭ Задание 14 Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Сторона основания правильной треугольной призмы $$ABCA_1B_1C_1$$ равна $$2$$, а диагональ боковой грани равна $$\sqrt{5}$$. Найдите угол между плоскостью $$A_1BC$$ и плоскостью основания призмы.

Обозначим через $$E$$ середину ребра $$BC$$. Тогда $$BE=CE=1$$, так как $$BC=2$$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $$A_1BC$$. В нём $$A_1B=A_1C$$, поэтому медиана $$A_1E$$ к основанию $$BC$$ является высотой, то есть $$A_1E\perp BC$$.

По теореме Пифагора в треугольнике $$A_1BE$$:

$$A_1E=\sqrt{A_1B^2-BE^2}=\sqrt{5-1}=2.$$

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$. В нём $$AB=BC=2$$, поэтому медиана $$AE$$ к основанию $$BC$$ также является высотой, значит $$AE\perp BC$$.

Тогда в треугольнике $$ABE$$:

$$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.$$

Плоскость $$A_1BC$$ пересекает плоскость основания по прямой $$BC$$. Угол между плоскостями равен углу между прямыми, перпендикулярными $$BC$$ в этих плоскостях, то есть $$\angle A_1EA$$.

В прямоугольном треугольнике $$A_1AE$$:

$$\cos \angle A_1EA=\frac{AE}{A_1E}=\frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Следовательно,

$$\angle A_1EA=30^\circ.$$

Ответ: $$30^\circ$$.