Подготовка к ЕГЭ Задание 16 Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Известно, что sin?ABM/sin?CBM=1/2. Найдите отношение BC/AB. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 atan10_11 new/exam/16/9 106

Рассмотрим треугольник $$ABM$$. По теореме синусов имеем

$$\frac{AB}{\sin \angle BMA}=\frac{AM}{\sin \angle ABM}.$$

Так как $$BM$$ — медиана, то $$AM=CM$$. Кроме того, углы $$\angle BMA$$ и $$\angle CMB$$ смежные, поэтому

$$\angle BMA=180^\circ-\angle CMB,$$

а значит,

$$\sin \angle BMA=\sin \angle CMB.$$

Тогда из теоремы синусов для треугольника $$ABM$$ получаем

$$AB\sin \angle ABM=AM\sin \angle BMA=CM\sin \angle CMB.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$CBM$$. По теореме синусов

$$\frac{BC}{\sin \angle BMC}=\frac{MC}{\sin \angle CBM},$$

то есть

$$BC\sin \angle CBM=MC\sin \angle BMC.$$

Сравнивая полученные равенства и учитывая, что $$AM=CM$$, получаем

$$\frac{BC}{AB}=\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}.$$

По условию

$$\frac{\sin \angle ABM}{\sin \angle CBM}=\frac{1}{2},$$

следовательно,

$$\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{1}{2}$$