Упр.9 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Две смежные вершины и точка пересечения диагоналей параллелограмма лежат в плоскости $$\alpha$$. Лежат ли две другие вершины параллелограмма в плоскости $$\alpha$$? Ответ обоснуйте.

Пусть $$ABCD$$ — параллелограмм, $$O$$ — точка пересечения его диагоналей. По условию $$A \in \alpha$$, $$B \in \alpha$$, $$O \in \alpha$$.

Так как точка $$O$$ лежит на диагонали $$AC$$, а точки $$A$$ и $$O$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, то прямая $$AO$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Следовательно, и точка $$C$$, лежащая на прямой $$AO$$, принадлежит плоскости $$\alpha$$.

Аналогично, точка $$O$$ лежит на диагонали $$BD$$, а точки $$B$$ и $$O$$ принадлежат плоскости $$\alpha$$, значит, прямая $$BO$$ лежит в плоскости $$\alpha$$. Тогда точка $$D$$, лежащая на этой прямой, также принадлежит плоскости $$\alpha$$.

Итак, все вершины параллелограмма $$ABCD$$ лежат в одной плоскости $$\alpha$$.

Ответ: да, лежат.