Упр.89 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Точки $$A$$, $$B$$, $$C$$ и $$D$$ не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников $$ABC$$ и $$CBD$$ пересекаются соответственно в точках $$M_1$$ и $$M_2$$. Докажите, что отрезки $$AD$$ и $$M_1M_2$$ параллельны.

Подробный ответ

Пусть $$K$$ — середина ребра $$BC$$. Тогда в треугольнике $$DBC$$ отрезок $$DK$$ — медиана, а точка $$M_2$$ — центр тяжести, поэтому

$$DM_2 : M_2K = 2 : 1,$$

то есть

$$KM_2 = \frac{1}{3}KD.$$

Пусть теперь $$K$$ — середина ребра $$BC$$ и в треугольнике $$ABC$$ отрезок $$AK$$ — медиана. Так как $$M_1$$ — центр тяжести треугольника $$ABC$$, то

$$AM_1 : M_1K = 2 : 1,$$

следовательно,

$$KM_1 = \frac{1}{3}KA.$$

Рассмотрим треугольники $$AKD$$ и $$M_1KM_2$$. В них

$$\frac{KM_1}{KA}=\frac{KM_2}{KD}=\frac{1}{3}.$$

Кроме того, угол между этими сторонами общий:

$$\angle M_1KM_2=\angle AKD.$$

Значит, треугольники $$AKD$$ и $$M_1KM_2$$ подобны по двум сторонам и углу между ними. Отсюда

$$\angle M_1M_2K=\angle ADK.$$

Следовательно, прямые $$M_1M_2$$ и $$AD$$ параллельны, что и требовалось доказать.

Ответ: $$AD \parallel M_1M_2$$.