Упр.89 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Точки А, В, C и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников ABC и CBD пересекаются соответственно в точках M1 и M2. Докажите, что отрезки AD и M1M2 параллельны.

Подробный ответ

Пусть в треугольнике $$DBC$$ точка $$K$$ — середина отрезка $$BC$$, а в треугольнике $$ABC$$ точка $$K$$ — та же середина отрезка $$BC$$. Тогда $$DK$$ — медиана треугольника $$DBC$$, а $$AK$$ — медиана треугольника $$ABC$$.

Так как точки $$M_2$$ и $$M_1$$ — точки пересечения медиан, то они делят соответствующие медианы в отношении $$2:1$$, считая от вершины:

$$DM_2 : M_2K = 2:1,$$

$$AM_1 : M_1K = 2:1.$$

Отсюда

$$KM_2=\frac{1}{3}KD,\qquad KM_1=\frac{1}{3}KA.$$

Следовательно,

$$\frac{KM_2}{KD}=\frac{KM_1}{KA}=\frac13.$$

Рассмотрим треугольники $$\triangle KDM_2$$ и $$\triangle KAM_1$$. У них стороны, заключающие угол при $$K$$, пропорциональны, а угол между ними общий:

$$\angle DKM_2=\angle AKM_1.$$

Значит, $$\triangle KDM_2 \sim \triangle KAM_1$$ по двум сторонам и углу между ними.

Из подобия получаем равенство соответствующих углов:

$$\angle DM_2K=\angle AM_1K.$$

Но точки $$D, M_2, K$$ и $$A, M_1, K$$ лежат соответственно на прямых $$DM_2$$ и $$AM_1$$, поэтому эти углы являются углами, образованными прямой $$M_1M_2$$ с прямой $$AD$$. Следовательно, прямые $$M_1M_2$$ и $$AD$$ параллельны.

Итак, $$AD \parallel M_1M_2$$.