Упр.88 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Параллельные прямые $$AC$$ и $$BD$$ пересекают плоскость $$\alpha$$ в точках $$A$$ и $$B$$. Точки $$C$$ и $$D$$ лежат по одну сторону от плоскости $$\alpha$$, $$AC=8\ \text{см}$$, $$BD=6\ \text{см}$$, $$AB=4\ \text{см}$$.
а) Докажите, что прямая $$CD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в некоторой точке $$E$$.
б) Найдите отрезок $$BE$$.

Подробный ответ

Рассмотрим плоскость, проходящую через прямые $$AC$$ и $$BD$$. Так как $$AC \parallel BD$$ и $$AC \ne BD$$, то прямые $$AC$$ и $$BD$$ лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, в этой плоскости они являются параллельными сторонами трапеции $$ABCD$$, а значит, точки $$A, B, C, D$$ лежат в одной плоскости.

Прямая $$AB$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$A$$, а прямая $$CD$$ лежит в плоскости $$ABCD$$. Если бы $$CD \parallel AB$$, то четырёхугольник $$ABCD$$ был бы параллелограммом, и тогда получилось бы $$AC = BD$$, что противоречит условию: $$AC=8$$ см, $$BD=6$$ см. Значит, $$CD$$ не параллельна $$AB$$.

Так как прямые $$CD$$ и $$AB$$ лежат в одной плоскости и не параллельны, они пересекаются в некоторой точке $$E$$. Поскольку $$AB \subset \alpha$$, то и точка $$E$$ принадлежит плоскости $$\alpha$$. Следовательно, $$CD$$ пересекает плоскость $$\alpha$$ в точке $$E$$.

Для нахождения $$BE$$ рассмотрим треугольники $$\triangle ECA$$ и $$\triangle EDB$$. У них:

$$\angle ECA = \angle EDB$$ как соответствующие углы при параллельных прямых $$AC \parallel BD$$;
$$\angle EAC = \angle EBD$$ как соответствующие углы при параллельных прямых $$AC \parallel BD$$.

Значит, $$\triangle ECA \sim \triangle EDB$$, поэтому

$$\frac{EA}{EB}=\frac{AC}{BD}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.$$

Так как точки $$A, B, E$$ лежат на одной прямой и $$B$$ находится между $$A$$ и $$E$$, то

$$EA=AB+BE=4+BE.$$

Тогда

$$\frac{4+BE}{BE}=\frac{4}{3}$$

$$3(4+BE)=4BE$$

$$12+3BE=4BE$$

$$BE=12.$$

Ответ: $$BE=12\text{ см}$$.