Упр.870 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Исследуйте взаимное расположение параболы y=x^2 и окружности радиуса R с центром в точке (0; R) в зависимости от R.

Уравнение окружности с центром в точке $$O(0;R)$$ и радиусом $$R$$ имеет вид

$$x^2+(y-R)^2=R^2.$$

Найдём общие точки с параболой $$y=x^2$$. Подставим $$x^2=y$$ в уравнение окружности:

$$y+(y-R)^2=R^2.$$

Раскроем скобки:

$$y+y^2-2Ry+R^2=R^2,$$

$$y^2+y(1-2R)=0,$$

$$y(y+1-2R)=0.$$

Отсюда

$$y=0 \quad \text{или} \quad y=2R-1.$$

Теперь рассмотрим случаи.

• Если $$R<\frac12,$$ то $$2R-1<0,$$ а у параболы $$y=x^2\ge 0$$. Значит, общих точек нет.
• Если $$R=\frac12,$$ то второй корень совпадает с первым: $$y=0$$. Тогда $$x^2=0,$$ то есть $$x=0$$. Окружность и парабола касаются в точке $$\left(0;0\right).$$
• Если $$R>\frac12,$$ то есть две общие точки:

  $$y=0 \Rightarrow x=0,$$

  $$y=2R-1 \Rightarrow x=\pm\sqrt{2R-1}.$$

  Следовательно, окружность и парабола пересекаются в точках $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\pm\sqrt{2R-1};\,2R-1\right).$$

Ответ

Если $$R<\frac12,$$ общих точек нет; если $$R=\frac12,$$ окружность и парабола касаются в точке $$\left(0;0\right);$$ если $$R>\frac12,$$ они пересекаются в точках $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\pm\sqrt{2R-1};\,2R-1\right).$$