Упр.87 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью $$MNK$$, где точки $$M$$, $$N$$ и $$K$$ лежат соответственно на рёбрах: а) $$BB_1$$, $$AA_1$$, $$AD$$; б) $$CC_1$$, $$AD$$, $$BB_1$$.

а) Рассмотрим плоскость $$MNK.$$

Так как точки $$M$$ и $$N$$ лежат на рёбрах $$BB_1$$ и $$AA_1,$$ то прямая $$MN$$ лежит в боковой грани $$ABB_1A_1.$$ Через точку $$K$$ проведём прямую, параллельную ребру $$AB,$$ и обозначим точку её пересечения с ребром $$BC$$ через $$L.$$ Тогда четырёхугольник $$MNKL$$ — искомое сечение.

Действительно, в параллелепипеде противоположные грани параллельны, поэтому линия пересечения плоскости $$MNK$$ с гранью $$BCC_1B_1$$ проходит через точку $$M$$ и параллельна $$NK,$$ а с гранью $$ADD_1A_1$$ — через точку $$N$$ и параллельна $$MK.$$ Следовательно, сечение замыкается четырёхугольником $$MNKL.$$

б) Соединим точки $$M$$ и $$K.$$ Через точку $$N$$ проведём прямую, параллельную $$MK,$$ и обозначим точку её пересечения с ребром $$DD_1$$ через $$P.$$ Через точку $$M$$ проведём прямую, параллельную $$PK,$$ и обозначим точку её пересечения с ребром $$CC_1$$ через $$Q.$$ Тогда искомое сечение — четырёхугольник $$MNKP$$, а при продолжении построения получаем также точку $$Q,$$ и сечение можно записать как $$MNKQ.$$

Итак, в случае а) искомое сечение — $$MNKL,$$ в случае б) — $$MNKP$$ (или $$MNKQ$$ при обозначении четвёртой вершины через $$Q$$).