Упр.869 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Парабола задана уравнением y=ax^2+by+c. Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты её фокуса.

Приведём уравнение параболы к каноническому виду, сделав параллельный перенос осей координат так, чтобы начало новой системы совпало с вершиной параболы:

$$x’=x+\frac{b}{2a}, \qquad y’=y+\frac{b^2}{4a}-c.$$

Тогда в новой системе координат уравнение параболы примет вид

$$y’=ax’^2.$$

Для параболы $$y’=ax’^2$$ имеем

$$p=\frac{1}{2a},$$

где $$p$$ — расстояние от вершины до фокуса и до директрисы.

Следовательно, директриса в системе $$O’x’y’$$ задаётся уравнением

$$y’=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}.$$

Переходим к исходным координатам:

$$-\frac{1}{4a}=y+\frac{b^2}{4a}-c,$$

откуда

$$y=c-\frac{b^2+1}{4a}=\frac{4ac-b^2-1}{4a}.$$

Фокус параболы в системе $$O’x’y’$$ имеет координаты

$$F'(0;\frac{p}{2})=F’\left(0;\frac{1}{4a}\right).$$

Переходя к исходной системе координат, получаем:

$$x= x’-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2a},$$

$$y=y’-\frac{b^2}{4a}+c=\frac{1}{4a}-\frac{b^2}{4a}+c=\frac{4ac-b^2+1}{4a}.$$

Значит, координаты фокуса:

$$F\left(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b^2+1}{4a}\right).$$

Ответ

$$y=\frac{4ac-b^2-1}{4a}; \qquad F\left(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b^2+1}{4a}\right).$$