Упр.869 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Парабола задана уравнением $$y=ax^2+by+c$$. Напишите уравнение директрисы этой параболы и найдите координаты её фокуса.

Сделаем параллельный перенос осей координат так, чтобы начало новой системы совпало с вершиной параболы. Для этого положим

$$x’=x+\frac{b}{2a},\qquad y’=y+\frac{b^2}{4a}-c.$$

Тогда уравнение параболы примет вид

$$y’=ax’^2.$$

Для параболы $$y’=ax’^2$$ имеем $$p=\frac{1}{2a}$$, где $$p$$ — расстояние от фокуса до директрисы.

В новой системе координат директриса задаётся уравнением

$$y’=-\frac{p}{2}=-\frac{1}{4a}.$$

Возвращаясь к старым координатам, получаем

$$y+\frac{b^2}{4a}-c=-\frac{1}{4a},$$

откуда

$$y=c-\frac{b^2+1}{4a}=\frac{4ac-b^2-1}{4a}.$$

Фокус в новой системе имеет координаты $$F'(0;\frac{p}{2})$$, то есть

$$F’\left(0;\frac{1}{4a}\right).$$

Переходим к старым координатам:

$$x=x’-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2a},$$

$$y=y’-\frac{b^2}{4a}+c=\frac{1}{4a}-\frac{b^2}{4a}+c=\frac{4ac-b^2+1}{4a}.$$

Ответ: $$y=\frac{4ac-b^2-1}{4a};\quad F\left(-\frac{b}{2a};\frac{4ac-b^2+1}{4a}\right).$$