Упр.868 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Найдите эксцентриситет и напишите уравнения директрис гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$, $$k>0$$.

Повернём оси координат $$Ox$$ и $$Oy$$ на $$45^\circ$$ против часовой стрелки. Тогда новые оси $$Ox’$$ и $$Oy’$$ задаются формулами

$$x’=\frac{x+y}{\sqrt2}, \qquad y’=\frac{x-y}{\sqrt2}.$$

Отсюда

$$x=\frac{x’+y’}{\sqrt2}, \qquad y=\frac{x’-y’}{\sqrt2}.$$

Подставим эти выражения в уравнение гиперболы $$y=\frac{k}{x}$$:

$$xy=k.$$

С другой стороны,

$$xy=\frac{(x’+y’)(x’-y’)}{2}=\frac{x’^2-y’^2}{2}.$$

Значит, в новых координатах получаем

$$\frac{x’^2}{2k}-\frac{y’^2}{2k}=1.$$

Следовательно,

$$a^2=\frac{k}{2}, \qquad b^2=\frac{k}{2}.$$

Для гиперболы

$$c^2=a^2+b^2=k,$$

поэтому эксцентриситет равен

$$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{k/2}}=\sqrt2.$$

Директрисы гиперболы в координатах $$x’,y’$$ имеют вид

$$x’=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{k/2}{\sqrt{k}}=\pm \frac{\sqrt{k}}{2}.$$

Переходя к исходным координатам, получаем

$$\frac{x+y}{\sqrt2}=\pm \frac{\sqrt{k}}{2}.$$

Умножая на $$\sqrt2$$, имеем

$$x+y=\pm \sqrt{\frac{k}{2}}.$$

Следовательно, уравнения директрис:

$$x+y-\sqrt{\frac{k}{2}}=0, \qquad x+y+\sqrt{\frac{k}{2}}=0.$$

Ответ: $$e=\sqrt2$$; $$x+y-\sqrt{\frac{k}{2}}=0$$, $$x+y+\sqrt{\frac{k}{2}}=0$$.