Упр.867 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Исследуйте взаимное расположение эллипса x^2/9+y^2/4=1 и гиперболы y=2v2/x.

Подставим уравнение гиперболы $$y=\frac{2\sqrt{2}}{x}$$ в уравнение эллипса $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$:

$$ \frac{x^2}{9}+\frac{1}{4}\left(\frac{2\sqrt{2}}{x}\right)^2=1 $$
$$ \frac{x^2}{9}+\frac{2}{x^2}=1 $$

Умножим на $$9x^2$$:

$$ x^4-9x^2+18=0 $$

Обозначим $$t=x^2$$. Тогда получаем:

$$ t^2-9t+18=0 $$
$$ (t-3)(t-6)=0 $$

Следовательно,

$$ x^2=3 \quad \text{или} \quad x^2=6 $$
$$ x=\pm\sqrt{3}, \quad x=\pm\sqrt{6} $$

Найдём соответствующие значения $$y$$ по формуле $$y=\frac{2\sqrt{2}}{x}$$:

$$ x=\sqrt{3}\Rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=2\sqrt{\frac{2}{3}} $$
$$ x=-\sqrt{3}\Rightarrow y=-2\sqrt{\frac{2}{3}} $$
$$ x=\sqrt{6}\Rightarrow y=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{3}} $$
$$ x=-\sqrt{6}\Rightarrow y=-\frac{2}{\sqrt{3}} $$

Значит, эллипс и гипербола пересекаются в четырёх точках.

Ответ

$$ \left(-\sqrt{6},-\frac{2}{\sqrt{3}}\right),\ \left(-\sqrt{3},-2\sqrt{\frac{2}{3}}\right),\ \left(\sqrt{6},\frac{2}{\sqrt{3}}\right),\ \left(\sqrt{3},2\sqrt{\frac{2}{3}}\right) $$