Упр.865 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Исследуйте взаимное расположение эллипса x^2/16+y^2/4=1 и: а) окружности радиуса v7 с центром в начале координат; б) окружности радиуса 2 с центром в точке (2; 0).

Решение

а) Для окружности с центром в начале координат имеем уравнение

$$x^2+y^2=7,$$

откуда

$$y^2=7-x^2.$$

Подставим это в уравнение эллипса

$$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$$

Получим

$$\frac{x^2}{16}+\frac{7-x^2}{4}=1,$$

$$x^2+28-4x^2=16,$$

$$3x^2=12,$$

$$x^2=4,$$

$$x=\pm 2.$$

Тогда

$$y^2=7-4=3,$$

$$y=\pm \sqrt{3}.$$

Следовательно, эллипс и окружность пересекаются в четырёх точках:

$$\left(2;\sqrt{3}\right),\ \left(2;-\sqrt{3}\right),\ \left(-2;\sqrt{3}\right),\ \left(-2;-\sqrt{3}\right).$$

б) Для окружности с центром в точке $$\left(2;0\right)$$ имеем уравнение

$$\left(x-2\right)^2+y^2=4,$$

откуда

$$y^2=4-\left(x-2\right)^2=4x-x^2.$$

Подставим в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{16}+\frac{4x-x^2}{4}=1.$$

Умножим на $$16$$:

$$x^2+16x-4x^2=16,$$

$$3x^2-16x+16=0.$$

Найдём корни:

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64,$$

$$x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{6}.$$

Тогда

$$x_1=4,\qquad x_2=\frac{4}{3}.$$

При $$x=4$$ получаем

$$y^2=4-(4-2)^2=0,$$

значит, точка касания одна: $$\left(4;0\right).$$

При $$x=\frac{4}{3}$$ имеем

$$y^2=4-\left(\frac{4}{3}-2\right)^2=4-\frac{4}{9}=\frac{32}{9},$$

$$y=\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}.$$

Значит, в этом случае эллипс и окружность пересекаются в двух точках:

$$\left(\frac{4}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}\right),\ \left(\frac{4}{3};-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right).$$

Ответ

а) $$\left(2;\sqrt{3}\right),\ \left(2;-\sqrt{3}\right),\ \left(-2;\sqrt{3}\right),\ \left(-2;-\sqrt{3}\right).$$

б) Касаются в точке $$\left(4;0\right)$$ и пересекаются в точках $$\left(\frac{4}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}\right),\ \left(\frac{4}{3};-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right).$$