Упр.865 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Исследуйте взаимное расположение эллипса $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$$ и: а) окружности радиуса $$\sqrt{7}$$ с центром в начале координат; б) окружности радиуса $$2$$ с центром в точке $$(2; 0)$$.

а) Для окружности с центром в начале координат имеем уравнение $$x^2+y^2=7.$$

Найдём точки пересечения с эллипсом $$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1.$$ Подставим $$y^2=7-x^2$$ в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{16}+\frac{7-x^2}{4}=1$$

$$x^2+4(7-x^2)=16$$

$$x^2+28-4x^2=16$$

$$3x^2=12,\quad x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

Тогда

$$y^2=7-4=3,\quad y=\pm \sqrt{3}.$$

Значит, окружность и эллипс пересекаются в четырёх точках:

$$(2;\sqrt{3}),\ (2;-\sqrt{3}),\ (-2;\sqrt{3}),\ (-2;-\sqrt{3}).$$

б) Для окружности с центром в точке $$(2;0)$$ имеем уравнение

$$(x-2)^2+y^2=4.$$

Отсюда

$$y^2=4-(x-2)^2=4-(x^2-4x+4)=4x-x^2.$$

Подставим в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{16}+\frac{4x-x^2}{4}=1$$

$$x^2+16x-4x^2=16$$

$$3x^2-16x+16=0.$$

Дискриминант:

$$D=16^2-4\cdot 3\cdot 16=256-192=64.$$

Тогда

$$x_{1,2}=\frac{16\pm 8}{6},$$

то есть

$$x_1=4,\quad x_2=\frac{4}{3}.$$

При $$x=4$$ получаем

$$y^2=4\cdot 4-4^2=0,\quad y=0.$$

При $$x=\frac{4}{3}$$ имеем

$$y^2=4\cdot \frac{4}{3}-\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{3}-\frac{16}{9}=\frac{32}{9},$$

значит

$$y=\pm \frac{4\sqrt{2}}{3}.$$

Следовательно, окружность и эллипс касаются в точке $$(4;0)$$ и пересекаются в двух точках:

$$\left(\frac{4}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}\right),\quad \left(\frac{4}{3};-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right).$$

Ответ

а) Пересекаются в четырёх точках: $$(2;\sqrt{3}),\ (2;-\sqrt{3}),\ (-2;\sqrt{3}),\ (-2;-\sqrt{3})$$.
б) Касаются в точке $$(4;0)$$ и пересекаются в точках $$\left(\frac{4}{3};\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$$ и $$\left(\frac{4}{3};-\frac{4\sqrt{2}}{3}\right)$$.