Упр.864 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Исследуйте взаимное расположение эллипса $$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$$ и прямой, проходящей через точки с координатами $$(1; -1)$$ и $$(3; 1)$$.

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$A(1;-1)$$ и $$B(3;1)$$.

Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{1-(-1)}{3-1}=\frac{2}{2}=1.$$

Тогда уравнение прямой имеет вид $$y=x+b.$$ Подставим координаты точки $$A(1;-1)$$:

$$-1=1+b,\qquad b=-2.$$

Следовательно, прямая задаётся уравнением

$$y=x-2.$$

Подставим это выражение в уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{(x-2)^2}{4}=1.$$

Умножим на $$36$$:

$$4x^2+9(x-2)^2=36.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2+9(x^2-4x+4)=36,$$

$$13x^2-36x=0,$$

$$x(13x-36)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\qquad x_2=\frac{36}{13}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=0-2=-2,$$

$$y_2=\frac{36}{13}-2=\frac{10}{13}.$$

Значит, прямая пересекает эллипс в двух точках.

Ответ: пересекаются в точках $$\left(0;-2\right)$$ и $$\left(\frac{36}{13};\frac{10}{13}\right).$$