Упр.864 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Исследуйте взаимное расположение эллипса x^2/9+y^2/4=1 и прямой, проходящей через точки с координатами (1; -1) и (3; 1).

Найдём уравнение прямой, проходящей через точки $$ (1;-1) $$ и $$ (3;1) $$. Её угловой коэффициент:

$$k=\frac{1-(-1)}{3-1}=\frac{2}{2}=1.$$

Тогда уравнение прямой имеет вид $$y=x+b$$. Подставим точку $$ (1;-1) $$:

$$-1=1+b,\quad b=-2.$$

Следовательно, прямая задаётся уравнением

$$y=x-2.$$

Найдём точки пересечения этой прямой с эллипсом

$$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1.$$

Подставим $$y=x-2$$:

$$\frac{x^2}{9}+\frac{(x-2)^2}{4}=1.$$

Умножим на $$36$$:

$$4x^2+9(x-2)^2=36.$$

Раскроем скобки:

$$4x^2+9(x^2-4x+4)=36,$$

$$13x^2-36x=0,$$

$$x(13x-36)=0.$$

Отсюда

$$x_1=0,\quad x_2=\frac{36}{13}.$$

Найдём соответствующие значения $$y$$:

$$y_1=0-2=-2,$$

$$y_2=\frac{36}{13}-2=\frac{10}{13}.$$

Значит, прямая пересекает эллипс в двух точках.

Ответ

Прямая и эллипс пересекаются в точках $$ (0;-2) $$ и $$ \left(\frac{36}{13};\frac{10}{13}\right) $$.