Упр.863 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Расстояние между двумя фокусами эллипса равно 4v2, а отношение большой и малой полуосей равно 3. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат Оху, где О — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси Ох. б) Найдите эксцентриситет эллипса, в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат Оху.

Пусть $$c$$ — расстояние от центра эллипса до фокуса, $$a$$ — большая полуось, $$b$$ — малая полуось. Тогда

$$F_1F_2=4\sqrt{2}\Rightarrow c=\frac{F_1F_2}{2}=2\sqrt{2}.$$

По условию $$\frac{a}{b}=3,$$ а для эллипса выполняется соотношение

$$c^2=a^2-b^2.$$

Подставим $$b=\frac{a}{3}$$:

$$c^2=a^2-\left(\frac{a}{3}\right)^2=a^2-\frac{a^2}{9}=\frac{8a^2}{9}.$$

Тогда

$$\frac{8a^2}{9}=c^2=(2\sqrt{2})^2=8,$$

откуда

$$a^2=9,\qquad a=3.$$

Следовательно,

$$b=\frac{a}{3}=1.$$

а) Каноническое уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

то есть

$$\frac{x^2}{9}+y^2=1.$$

б) Эксцентриситет эллипса:

$$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

в) Уравнения директрис эллипса:

$$x=\pm \frac{a^2}{c}=\pm \frac{9}{2\sqrt{2}}=\pm \frac{9\sqrt{2}}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$; б) $$e=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$; в) $$x=\pm \frac{9\sqrt{2}}{4}$$.