Упр.863 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Расстояние между двумя фокусами эллипса равно $$4\sqrt{2}$$, а отношение большой и малой полуосей равно $$3$$. а) Напишите уравнение этого эллипса в системе координат $$Oxy$$, где $$O$$ — середина отрезка, соединяющего фокусы, лежащие на оси $$Ox$$. б) Найдите эксцентриситет эллипса. в) Напишите уравнения директрис эллипса в системе координат $$Oxy$$.

Пусть $$2c=F_1F_2=4\sqrt2,$$ тогда $$c=2\sqrt2.$$

Для эллипса с большой осью вдоль оси $$Ox$$ выполняется соотношение

$$c^2=a^2-b^2.$$

По условию $$\frac{a}{b}=3,$$ значит $$a=3b.$$ Подставим в формулу:

$$c^2=a^2-b^2=9b^2-b^2=8b^2.$$

Тогда

$$8b^2=(2\sqrt2)^2=8,$$

откуда $$b^2=1$$ и $$b=1.$$ Следовательно,

$$a=3.$$

Ход решения

а) Каноническое уравнение эллипса:

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,$$

поэтому

$$\frac{x^2}{9}+y^2=1.$$

б) Эксцентриситет эллипса равен

$$e=\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt2}{3}.$$

в) Директрисы эллипса задаются уравнениями

$$x=\pm \frac{a^2}{c}.$$

Подставим найденные значения:

$$x=\pm \frac{9}{2\sqrt2}=\pm \frac{9\sqrt2}{4}.$$

Ответ

а) $$\frac{x^2}{9}+y^2=1$$; б) $$e=\frac{2\sqrt2}{3}$$; в) $$x=\pm \frac{9\sqrt2}{4}.$$