Упр.862 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

На сторонах $AB$, $BC$ и $CA$ треугольника $ABC$ (либо на одной из сторон и продолжениях двух других сторон) отмечены соответственно точки $C_1$, $A_1$ и $B_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда:
а) $$\frac{\sin\angle ACC_1}{\sin\angle C_1CB}\cdot\frac{\sin\angle BAA_1}{\sin\angle A_1AC}\cdot\frac{\sin\angle CBB_1}{\sin\angle B_1BA}=1$$;
б) для любой точки $O$, не лежащей на прямых $AB$, $BC$ и $CA$, выполняется равенство $$\frac{\sin\angle AOC_1}{\sin\angle C_1OB}\cdot\frac{\sin\angle BOA_1}{\sin\angle A_1OC}\cdot\frac{\sin\angle COB_1}{\sin\angle B_1OA}=1$$.

Подробный ответ

Пусть $$C_1\in AB,$$ $$A_1\in BC,$$ $$B_1\in AC.$$ Докажем утверждение по теореме Чевы.

а)

Обозначим $$\angle ACC_1=\alpha.$$ Тогда смежный с ним угол равен $$\angle C_1CB=180^\circ-\alpha.$$

По теореме синусов в треугольниках $$ACC_1$$ и $$BCC_1$$ получаем:

$$\frac{AC_1}{\sin \angle ACC_1}=\frac{AC}{\sin \angle C_1CB}, \qquad \frac{BC_1}{\sin \angle C_1CB}=\frac{BC}{\sin \angle ACC_1}.$$

Отсюда

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{AC}{BC}.$$

Аналогично, из треугольников $$BAA_1$$ и $$CAA_1$$, а также $$CBB_1$$ и $$ABB_1$$ имеем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{AB}{AC}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}\cdot \frac{BC}{AB}.$$

Перемножая, получаем:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}.$$

По теореме Чевы прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1.$$

Следовательно, это равносильно условию

$$\frac{\sin \angle ACC_1}{\sin \angle C_1CB}\cdot \frac{\sin \angle BAA_1}{\sin \angle A_1AC}\cdot \frac{\sin \angle CBB_1}{\sin \angle B_1BA}=1.$$

б)

Пусть $$O$$ — любая точка, не лежащая на прямых $$AB,$$ $$BC,$$ $$CA.$$ Обозначим $$\angle AC_1O=\alpha.$$ Тогда $$\angle BC_1O=180^\circ-\alpha.$$

По теореме синусов в треугольниках $$AOC_1$$ и $$BOC_1$$:

$$\frac{AC_1}{\sin \angle AOC_1}=\frac{AO}{\sin \alpha}, \qquad \frac{BC_1}{\sin \angle C_1OB}=\frac{BO}{\sin (180^\circ-\alpha)}=\frac{BO}{\sin \alpha}.$$

Значит,

$$\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{AO}{BO}.$$

Аналогично, из треугольников $$BOA_1$$ и $$COA_1$$, а также $$COB_1$$ и $$AOB_1$$ получаем:

$$\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{BO}{CO}, \qquad \frac{CB_1}{AB_1}=\frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}\cdot \frac{CO}{AO}.$$

Перемножая, имеем:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{\sin \angle AOC_1}{\sin \angle C_1OB}\cdot \frac{\sin \angle BOA_1}{\sin \angle A_1OC}\cdot \frac{\sin \angle COB_1}{\sin \angle B_1OA}.$$

По теореме Чевы прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда это произведение равно $$1.$$