Упр.861 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: На стороне АС треугольника АВС отмечены точки Р и Е, а на стороне ВС — точки М и К, причём АР:РЕ:ЕС=СК:КМ:МВ. Отрезки АМ и ВР пересекаются в точке О, а отрезки АК и BE — в точке Т. Докажите, что точки О, Т и С лежат на одной прямой.

Обозначим

$$AP=x,\quad PE=y,\quad EC=z.$$

Тогда

$$CK=kx,\quad KM=ky,\quad MB=kz$$

для некоторого $$k>0$$.

Применим теорему Менелая к треугольнику $$BPC$$ для прямой $$AOM$$:

$$\frac{BO}{PO}\cdot \frac{PA}{CA}\cdot \frac{CM}{BM}=1.$$

Применим теорему Менелая к треугольнику $$EBC$$ для прямой $$ATK$$:

$$\frac{ET}{BT}\cdot \frac{BK}{CK}\cdot \frac{CA}{EA}=1.$$

Теперь рассмотрим треугольник $$BPE$$. Так как $$PC=PE+EC=y+z$$, $$EA=AP+PE=x+y$$, $$CM=CK+KM=kx+ky=k(x+y)$$, $$BK=BM+MK=kz+ky=k(y+z)$$, то

$$ \frac{BO}{PO}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM\cdot CA}{CM\cdot PA}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{CK\cdot EA}{BK\cdot CA}. $$

Подставим выражения через $$x,y,z,k$$:

$$ \frac{BO}{PO}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{ET}{BT} = \frac{kz\cdot (y+z)\cdot kx\cdot (x+y)}{k(x+y)\cdot x\cdot z\cdot k(y+z)}=1. $$

Следовательно, по теореме Менелая для треугольника $$BPE$$ точки $$O$$, $$T$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Ответ

Точки $$O$$, $$T$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.