Упр.861 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$P$$ и $$E$$, а на стороне $$BC$$ — точки $$M$$ и $$K$$, причём $$AP:PE:EC=CK:KM:MB$$. Отрезки $$AM$$ и $$BP$$ пересекаются в точке $$O$$, а отрезки $$AK$$ и $$BE$$ — в точке $$T$$. Докажите, что точки $$O$$, $$T$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Обозначим

$$AP=x,\quad PE=y,\quad EC=z.$$

Тогда

$$CA=x+y,\quad EA=y+z.$$

Так как $$AP:PE:EC=CK:KM:MB,$$ то можно положить

$$CK=kx,\quad KM=ky,\quad MB=kz.$$

Рассмотрим треугольник $$BPC.$$ Прямые $$AM$$ и $$BP$$ пересекаются в точке $$O,$$ значит, по теореме Менелая для треугольника $$BPC$$ и секущей $$AOM$$ имеем

$$\frac{BO}{PO}\cdot \frac{PA}{CA}\cdot \frac{CM}{BM}=1.$$

Аналогично, для треугольника $$EBC$$ и секущей $$ATK$$ получаем

$$\frac{ET}{BT}\cdot \frac{BK}{CK}\cdot \frac{CA}{EA}=1.$$

Перемножим эти равенства и учтём, что

$$PC=PE+EC=y+z,\qquad BK=BM+MK=kz+ky=k(z+y),$$

$$CM=CK+KM=kx+ky=k(x+y).$$

Тогда

$$\frac{BO}{PO}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{ET}{BT} = \frac{BM\cdot CA}{CM\cdot PA}\cdot \frac{PC}{EC}\cdot \frac{CK\cdot EA}{BK\cdot CA}$$

$$= \frac{kz\cdot (x+y)\cdot (y+z)\cdot kx\cdot (y+z)} {k(x+y)\cdot x\cdot z\cdot k(z+y)} =1.$$

Следовательно, для треугольника $$BPE$$ и прямых $$BO,$$ $$CT,$$ $$ET$$ выполняется теорема Менелая, значит, точки $$O,$$ $$T$$ и $$C$$ лежат на одной прямой.

Ответ: точки $$O,$$ $$T$$ и $$C$$ коллинеарны.