Упр.860 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность пересекает сторону $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$A_1$$ и $$A_2$$, сторону $$AC$$ — в точках $$B_1$$ и $$B_2$$, сторону $$AB$$ — в точках $$C_1$$ и $$C_2$$. Докажите, что отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $$AA_2$$, $$BB_2$$ и $$CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Рассмотрим произведение отношений, входящее в теорему Чевы:

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}$$

По теореме о двух секущих, проведённых из одной точки к окружности, имеем:

$$AC_1\cdot AC_2=AB_2\cdot AB_1,\qquad BA_1\cdot BA_2=BC_2\cdot BC_1,\qquad CB_1\cdot CB_2=CA_2\cdot CA_1.$$

Отсюда

$$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{AB_2}{AC_2},\qquad \frac{BA_1}{BC_1}=\frac{BC_2}{BA_2},\qquad \frac{CB_1}{CA_1}=\frac{CA_2}{CB_2}.$$

Тогда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{AC_1}{AB_1}\cdot \frac{BA_1}{BC_1}\cdot \frac{CB_1}{CA_1} = \frac{AB_2}{AC_2}\cdot \frac{BC_2}{BA_2}\cdot \frac{CA_2}{CB_2}.$$

Следовательно, по теореме Чевы отрезки $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1,$$

а это равносильно условию

$$\frac{AB_2}{AC_2}\cdot \frac{BC_2}{BA_2}\cdot \frac{CA_2}{CB_2}=1,$$

то есть пересечению в одной точке отрезков $$AA_2,\,BB_2,\,CC_2$$.

Итак, $$AA_1,\,BB_1,\,CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $$AA_2,\,BB_2,\,CC_2$$ пересекаются в одной точке.