Упр.860 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Окружность пересекает сторону ВС треугольника АВС в точках A_1 и A_2, сторону АС — в точках B_1 и B_2, сторону АВ — в точках C_1 и C_2. Докажите, что отрезки AA_1, BB_1 и CC_1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки AA_2, BB_2 и CC_2 пересекаются в одной точке.

Обозначим точку пересечения прямых $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$ через $$M$$. Докажем, что тогда прямые $$AA_2,$$ $$BB_2,$$ $$CC_2$$ тоже проходят через одну точку, и наоборот.

По теореме о двух секущих, проведённых из одной точки, имеем:

$$AC_1 \cdot AC_2 = AB_2 \cdot AB_1,$$
откуда
$$\frac{AC_1}{AB_1}=\frac{AB_2}{AC_2};$$

$$BA_1 \cdot BA_2 = BC_2 \cdot BC_1,$$
откуда
$$\frac{BA_1}{BC_1}=\frac{BC_2}{BA_2};$$

$$CA_1 \cdot CA_2 = CB_2 \cdot CB_1,$$
откуда
$$\frac{CB_1}{CA_1}=\frac{CA_2}{CB_2}.$$

Перемножим полученные равенства:

$$ \frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{AB_2}{AC_2}\cdot \frac{BC_2}{BA_2}\cdot \frac{CA_2}{CB_2}. $$

Левая часть равна $$1$$ по теореме Чевы для прямых $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$. Значит,

$$ \frac{AB_2}{AC_2}\cdot \frac{BC_2}{BA_2}\cdot \frac{CA_2}{CB_2}=1. $$

По теореме Чевы это означает, что прямые $$AA_2,$$ $$BB_2,$$ $$CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Обратное утверждение доказывается точно так же: если $$AA_2,$$ $$BB_2,$$ $$CC_2$$ пересекаются в одной точке, то из тех же соотношений следует, что

$$ \frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1}=1, $$

то есть по теореме Чевы пересекаются в одной точке и прямые $$AA_1,$$ $$BB_1,$$ $$CC_1$$.

Ответ

$$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ пересекаются в одной точке.