Упр.86 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
Изобразите параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ $$AC$$ основания, параллельно диагонали $$BD_1$$. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы $$\angle ABB_1$$ и $$\angle CBB_1$$ прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.
Пусть плоскость сечения обозначена через $$\alpha$$. Так как $$\alpha$$ проходит через диагональ $$AC$$, то она проходит через точку $$O$$ — точку пересечения диагоналей основания $$ABCD$$.
Диагональ $$BD_1$$ лежит в плоскости $$BB_1D_1D$$, значит линия пересечения плоскостей $$\alpha$$ и $$BB_1D_1D$$ проходит через точку $$O$$ и параллельна $$BD_1$$. Проведём через $$O$$ прямую $$m \parallel BD_1$$. Она пересечёт ребро $$DD_1$$ в точке $$K$$.
Тогда в треугольнике $$BDD_1$$ прямая $$OK$$ параллельна стороне $$BD_1$$, а точка $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, значит $$K$$ — середина ребра $$DD_1$$.
Кроме того, точки $$A$$ и $$K$$ лежат в плоскости $$ADD_1$$, а точки $$C$$ и $$K$$ — в плоскости $$CDD_1$$. Следовательно, отрезки $$AK$$ и $$CK$$ являются линиями пересечения плоскости $$\alpha$$ с гранями $$ADD_1$$ и $$CDD_1$$ соответственно. Значит, искомое сечение — треугольник $$AKC$$.
Докажем, что $$\triangle AKC$$ равнобедренный.
Так как $$ABCD$$ — ромб, то $$AD=DC$$. По условию $$\angle ABB_1=90^\circ$$ и $$\angle CBB_1=90^\circ$$, значит ребро $$BB_1$$ перпендикулярно плоскости основания, а следовательно, $$AD \perp DD_1$$ и $$DC \perp DD_1$$. Поэтому
$$\angle ADD_1=\angle CDD_1=90^\circ.$$
Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADD_1$$ и $$CDD_1$$. У них
$$AD=DC,$$
$$DD_1$$ — общая сторона,
$$\angle ADD_1=\angle CDD_1=90^\circ.$$
Следовательно, $$\triangle ADD_1 \cong \triangle CDD_1$$ по двум катетам. Отсюда
$$AD_1=CD_1.$$
Так как $$K$$ — середина $$DD_1$$, то в равных треугольниках $$ADD_1$$ и $$CDD_1$$ отрезки $$AK$$ и $$CK$$ — соответствующие медианы к равным сторонам, значит
$$AK=CK.$$
Итак, $$\triangle AKC$$ равнобедренный.
Ответ
Сечение — треугольник $$AKC$$, причём $$AK=CK$$, значит $$\triangle AKC$$ равнобедренный.
