Упр.86 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Атанасян, Бутузов, Кадомцев 11 класс, Просвещение: Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через диагональ AC основания параллельно диагонали BD1. Докажите, что если основание параллелепипеда — ромб и углы ABB1 и CBB1 прямые, то построенное сечение — равнобедренный треугольник.

Подробный ответ

Обозначим через $$O$$ точку пересечения диагоналей основания $$ABCD$$. Так как плоскость сечения проходит через диагональ $$AC$$, то она проходит и через точку $$O$$.

Пусть плоскость сечения $$\alpha$$ пересекает ребро $$DD_1$$ в точке $$K$$. Проведём через точку $$O$$ прямую, параллельную $$BD_1$$. Она пересечёт ребро $$DD_1$$ в точке $$K$$, а ребро $$CC_1$$ — в точке $$M$$.

Рассмотрим треугольник $$BDD_1$$. Так как $$O$$ — середина диагонали $$BD$$, а прямая $$OK$$ параллельна $$BD_1$$, то $$K$$ — середина ребра $$DD_1$$.

Аналогично, в треугольнике $$CDD_1$$ прямая $$OM$$ параллельна $$BD_1$$, значит $$M$$ — середина ребра $$CC_1$$.

Следовательно, искомое сечение — треугольник $$AKC$$.

Докажем, что он равнобедренный. Так как $$ABCD$$ — ромб, то $$AD=DC$$. Углы $$\angle ABB_1$$ и $$\angle CBB_1$$ прямые, значит ребро $$BB_1$$ перпендикулярно плоскости основания, а следовательно, $$DD_1 \perp AD$$ и $$DD_1 \perp DC$$. Тогда

$$ \angle ADD_1=\angle CDD_1=90^\circ. $$

Рассмотрим прямоугольные треугольники $$ADD_1$$ и $$CDD_1$$. У них

$$ AD=DC,\qquad DD_1\text{ — общая сторона},\qquad \angle ADD_1=\angle CDD_1=90^\circ. $$

Значит, $$\triangle ADD_1 \cong \triangle CDD_1$$ по двум катетам, откуда

$$ AK=KC. $$

Следовательно, треугольник $$AKC$$ равнобедренный.