Упр.859 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

На стороне $$BC$$ треугольника $$ABC$$ отмечены точки $$A_1$$ и $$A_2$$, симметричные относительно середины $$BC$$, а на сторонах $$AC$$ и $$AB$$ отмечены соответственно точки $$B_1$$, $$B_2$$ и $$C_1$$, $$C_2$$, симметричные относительно середин этих сторон. Докажите, что отрезки $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда отрезки $$AA_2$$, $$BB_2$$ и $$CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Так как точки $$A_2,\ B_2,\ C_2$$ симметричны точкам $$A_1,\ B_1,\ C_1$$ относительно середин соответствующих сторон, то

$$BA_2=CA_1,\quad BA_1=CA_2,$$

$$BC_1=AC_2,\quad BC_2=AC_1,$$

$$AB_2=CB_1,\quad AB_1=CB_2.$$

Тогда

$$\frac{AC_1}{BC_1}\cdot \frac{BA_1}{CA_1}\cdot \frac{CB_1}{AB_1} = \frac{BC_2}{AC_2}\cdot \frac{CA_2}{BA_2}\cdot \frac{AB_2}{CB_2}.$$

По теореме Чевы это означает, что если прямые $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ пересекаются в одной точке, то и прямые $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ пересекаются в одной точке.

Обратно, из тех же равенств следует, что из пересечения в одной точке прямых $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2$$ по теореме Чевы получаем пересечение в одной точке прямых $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1.$$

Следовательно, прямые $$AA_1,\ BB_1,\ CC_1$$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда в одной точке пересекаются прямые $$AA_2,\ BB_2,\ CC_2.$$