Упр.858 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

Задача

Треугольники $$ABC$$ и $$A_1B_1C_1$$ расположены так, что прямые $$AB$$ и $$A_1B_1$$, $$BC$$ и $$B_1C_1$$, $$CA$$ и $$C_1A_1$$ пересекаются в точках $$P$$, $$Q$$, $$R$$. Докажите, что прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки $$P$$, $$Q$$ и $$R$$ лежат на одной прямой (теорема Дезарга).

Подробный ответ

Пусть прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в точке $$T$$. Докажем, что точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники $$ABT$$, $$ACT$$ и $$BCT$$. Так как точки $$P, B_1, A_1$$ лежат на одной прямой, то по теореме Менелая для треугольника $$ABT$$ имеем

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BB_1}{TB_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1}=1.$$

Аналогично, из коллинеарности точек $$R, C_1, A_1$$ и $$Q, C_1, B_1$$ получаем

$$\frac{AR}{CR}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1}=1,$$

$$\frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TB_1}{BB_1}=1.$$

Перемножим эти равенства:

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR} \cdot \frac{BB_1}{TB_1}\cdot \frac{CC_1}{TC_1}\cdot \frac{TA_1}{AA_1} \cdot \frac{TC_1}{CC_1}\cdot \frac{TB_1}{BB_1}\cdot \frac{AA_1}{TA_1}=1.$$

После сокращения получаем

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR}=1.$$

По обратной теореме Менелая для треугольника $$ABC$$ это означает, что точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой.

Теперь докажем обратное. Пусть точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой. Тогда по теореме Менелая для треугольника $$ABC$$

$$\frac{AP}{BP}\cdot \frac{BQ}{CQ}\cdot \frac{CR}{AR}=1.$$

Рассмотрим треугольники $$ABT$$, $$ACT$$ и $$BCT$$, где $$T=AA_1\cap BB_1\cap CC_1$$, если эти прямые пересекаются в одной точке. Из предыдущих равенств следует, что конфигурация удовлетворяет условию теоремы Дезарга, а значит, прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны.

Следовательно, прямые $$AA_1$$, $$BB_1$$ и $$CC_1$$ пересекаются в одной точке или попарно параллельны тогда и только тогда, когда точки $$P, Q, R$$ лежат на одной прямой.