Упр.857 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность с центром $$O$$ касается двух неравных окружностей с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$ в точках $$A_1$$ и $$A_2$$ соответственно. Докажите, что прямая $$A_1A_2$$ проходит через точку пересечения прямой $$O_1O_2$$ и общей касательной (внешней или внутренней) к окружностям с центрами $$O_1$$ и $$O_2$$.

Обозначим радиусы окружностей через $$OA_1=r,\quad O_1A_1=r_1,\quad O_2A_2=r_2.$$

Рассмотрим точку $$E=KL\cap O_1O_2,$$ где $$KL$$ — общая касательная к окружностям с центрами $$O_1$$ и $$O_2.$$

Тогда треугольники $$\triangle EO_2K$$ и $$\triangle EO_1L$$ подобны: у них

$$\angle O_2KE=\angle O_1LE=90^\circ,$$

а угол при вершине $$E$$ общий. Поэтому

$$\frac{EO_1}{EO_2}=\frac{LO_1}{KO_2}=\frac{r_1}{r_2}.$$

Теперь применим теорему Менелая к треугольнику $$OO_1O_2$$ для прямой, проходящей через точки $$A_1,\ E,\ A_2$$:

$$\frac{OA_1}{O_1A_1}\cdot \frac{O_1E}{EO_2}\cdot \frac{O_2A_2}{A_2O} = \frac{r}{r_1}\cdot \frac{r_1}{r_2}\cdot \frac{r_2}{r} =1.$$

Следовательно, точки $$A_1,\ E,\ A_2$$ лежат на одной прямой. Значит, прямая $$A_1A_2$$ проходит через точку $$E$$ пересечения прямой $$O_1O_2$$ с общей касательной $$KL$$.

Ответ

$$A_1A_2$$ проходит через точку $$E=KL\cap O_1O_2.$$