Упр.856 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)

1. Окружность, вписанная в четырёхугольник $$ABCD$$, касается сторон $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ соответственно в точках $$P$$, $$Q$$, $$R$$ и $$S$$. Докажите, что прямые $$PQ$$, $$RS$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.

Так как окружность касается сторон четырёхугольника, то отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны:

$$BP=BQ,\quad CQ=CR,\quad DR=DS,\quad AP=AS.$$

Рассмотрим произведение

$$\frac{AP}{PB}\cdot \frac{BQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot \frac{DS}{SA} = \frac{AP}{PB}\cdot \frac{BP}{QC}\cdot \frac{QC}{RD}\cdot \frac{RD}{AP}=1.$$

Следовательно, для точек $$P,Q,R,S$$ на сторонах четырёхугольника выполнено условие, при котором прямые $$PQ$$, $$RS$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу.

Значит, прямые $$PQ$$, $$RS$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны, что и требовалось доказать.