Упр.855 ГДЗ Атанасян 10-11 класс по геометрии (Геометрия)
- На сторонах $$AB$$, $$BC$$, $$CD$$ и $$DA$$ четырёхугольника $$ABCD$$ отмечены соответственно точки $$K$$, $$L$$, $$M$$ и $$N$$, не совпадающие с вершинами четырёхугольника. Докажите, что:
а) прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда $$\frac{AK}{KB}\cdot\frac{BL}{LC}\cdot\frac{CM}{MD}\cdot\frac{DN}{NA}=1$$;
б) прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны друг другу тогда и только тогда, когда это же верно в отношении прямых $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$.
а) Пусть прямые $$KL$$ и $$AC$$ пересекаются в точке $$E$$, а прямые $$MN$$ и $$AC$$ — в точке $$E_1$$.
По теореме Менелая для $$\triangle ABC$$ и $$\triangle ACD$$ получаем:
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CE}{EA}=1,$$
$$\frac{AE_1}{CE_1}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$
Перемножим эти равенства:
$$\frac{CE}{EA}\cdot \frac{AE_1}{CE_1}\cdot \frac{CL}{BL}\cdot \frac{BK}{AK}\cdot \frac{DM}{CM}\cdot \frac{AN}{DN}=1.$$
По условию
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1,$$
значит, после сокращения получаем
$$\frac{CE}{EA}\cdot \frac{AE_1}{CE_1}=1,$$
то есть
$$CE\cdot AE_1=EA\cdot CE_1.$$
Так как точки $$E$$ и $$E_1$$ лежат на одной прямой $$AC$$, то это равенство возможно только при $$E=E_1$$. Следовательно, прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке.
Обратно, если прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке, то, применяя теорему Менелая к тем же треугольникам, сразу получаем
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$
Итак, утверждение а) доказано.
б) Пусть прямые $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$ пересекаются в одной точке $$F$$. Тогда по теореме Менелая для $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$ имеем:
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{DN}{NA}\cdot \frac{BF}{FD}=1,$$
$$\frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DF}{FB}=1.$$
Перемножая эти равенства, получаем:
$$\frac{AK}{KB}\cdot \frac{BL}{LC}\cdot \frac{CM}{MD}\cdot \frac{DN}{NA}=1.$$
По пункту а) это равносильно тому, что прямые $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ пересекаются в одной точке или параллельны. Значит, условие для прямых $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ выполняется тогда и только тогда, когда оно выполняется и для прямых $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$.
Обратно рассуждение проводится так же: из условия для $$KL$$, $$MN$$ и $$AC$$ по пункту а) получаем произведение отношений, а затем по теореме Менелая для $$\triangle ABD$$ и $$\triangle CBD$$ заключаем, что прямые $$KN$$, $$LM$$ и $$BD$$ также пересекаются в одной точке или параллельны.
Следовательно, утверждение б) доказано.
